Deux trapèzes semblables

Question qui m'intéresse.

Le groupe des similitudes agit sur l'ensemble des trapèzes, mettons du plan.
Son invariant principal est la proportion.

Nous allons donc chercher à construire un trapèze $(ABCD)$ à une similitude près,
étant donné un certain nombre de proportions qui le caractérisent.

Combien de proportions ?
Les quadrilatères à isométrie près constituent une famille à 5 paramètres.
A similitude près : 4 paramètres; deux côtés opposés parallèles, restent 3 paramètres.

Nous cherchons donc 3 proportions qui caractérisent un trapèze à une similitude près.
La proportion des bases s'impose évidemment.
Pour les deux autres on recourt au triangle obtenu en retranchant du trapèze un parallélogramme;
ce triangle intervient souvent dans les problèmes où apparaît un trapèze.
Choix de deux proportions additionnelles : celles des côtés du triangle.

Rien de tel qu'une construction pour juger de la pertinence du choix.
Construire un trapèze à une similitude près, étant donné $(AB : CD) = (5:2)$ et $(AD:AX:DX) = (2:2:3)$.
On commence par construire un triangle de côtés $(AD,AX,DX) = (2,2,3)$ (noter la substitution de , pour : ) .
Ensuite on pose $CD=x$ , $(x+2)/x=5/2$ , $x=4/3$ et on termine.

Pour Djelloul : A prouver :
Si $(AD:AX:DX) = (ad:ax:dx)$ et $(AB : CD)=(ab:cd)$
Alors les trapèzes $(ABCD)$ et $(abcd)$ sont semblables.

Les preuves, c'est pas mon fort...