Un problème basique sur un carré

Jean-Louis Ayme · March 2021

Bonjour,
revenons à un problème basique, pour respirer un peu...

1. ABCD un carré,
2. E un point de [CD]
3. F le point d'intersection de la A-bissectrice intérieure du triangle ABE avec [BC].

Question : BF + DE = AE.

Source : 2017 Pan-African Shortlist
Sincèrement
Jean-Louis 119524

Tonm · March 2021

Bonjour, voilà la figure, en fait il y a Pythagore. Donc si le côté du carré est $b$, $BF=r$ et $DE=a$, la formule suivante d'égalité des aires donne $r$ puis à vérifier la formule $(a+r)^2=a^2+b^2$
$$
r\sqrt{a^2+b^2}+ab+(b-a)(b-r)+rb=2b^2.

$$ Cordialement.

Jean-Louis Ayme · March 2021

Bonsoir Tom,
merci pour votre preuve...cependant il y a plus basique...

Sincèrement
Jean-Louis

PGL@R92 · March 2021

Bonjour Jean-Louis,

Le cercle (E, ED) coupe AE en T. Le cercle (A,AT) coupe AD en G, et on place F sur BC tel que BF = AG.
Le cercle circonscrit à ABFG coupe AE en H :
FH = AG = BF $\Rightarrow$ AF est la bissectrice de $\widehat{BAE}$
Donc AE = AT + TE = DE + BF

Pas besoin de calculs
Amicalement
Pierre 119522

Ludwig · March 2021

Pourquoi a-t-on FH = AG, PGL@R92 ?

Jean-Louis Ayme · March 2021

Bonjour à tous,
merci...
Ma preuve

• Notons X le point d’intersection de (AE) et (BC),
et Y le point tel que le triangle YBA soit directement égal au triangle EDA.

• Par une simple chasse angulaire, nous montrerions que le triangle YFA est Y-isocèle ;

en conséquence, BF + BY = YA.

• Conclusion : par substitution, BF + DE = AE.

Sincèrement
Jean-Louis. 119536

PGL@R92 · March 2021

Bonjour Ludwig
FH=AG à cause de la symétrie par rapport à AF, puisque AF est un diamètre du cercle circonscrit au rectangle.

Ludwig · March 2021

Ce n'est pas clair pour moi, il y a quelque chose qui m'échappe. Tu peux être plus précis PGL@R92 ?
Car de la symétrie par rapport à $(AF)$ on ne peut déduire $FB=FH$ que si on sait que $H$ est le symétrique de $B$.
Or ce n'est pas ta définition du point $H$.

kolotoko · March 2021

Bonjour,

F est sur la bissectrice de l'angle EAB donc les triangles rectangles HAF et FAB sont isométriques puisque l'angle HAF vaut l'angle FAB et l'hypoténuse AF est commune.

Bien cordialement.

kolotoko