Lieux "élégants" dans un carré
dans Géométrie
Bonsoir à tous
Soit un carré ABCD, le cercle inscrit dans ce carré, et un point M mobile sur les côtés de ce carré. Le segment AM coupe ledit cercle en I et J. IJK est un triangle équilatéral, IJLN est un carré.
Ne trouvez-vous pas, comme moi, les lieux des points K, L et N particulièrement élégants, avec leur allure de volutes ?
Mais m'intrigue le fait que ces lieux soient concourants ...
Si le coeur vous en dit ...
Bien cordialement
JLB
Soit un carré ABCD, le cercle inscrit dans ce carré, et un point M mobile sur les côtés de ce carré. Le segment AM coupe ledit cercle en I et J. IJK est un triangle équilatéral, IJLN est un carré.
Ne trouvez-vous pas, comme moi, les lieux des points K, L et N particulièrement élégants, avec leur allure de volutes ?
Mais m'intrigue le fait que ces lieux soient concourants ...
Si le coeur vous en dit ...
Bien cordialement
JLB
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Réponses
Tu n'as dessiné que la moitié du lieu du point $K$. Pour l'obtenir tout entier il faut que tu construises le symétrique de $K$ par rapport à $(IJ)$. De plus ce n'est pas une bonne idée de faire tourner $M$ sur le carré car ce chemin anguleux peut poser des problèmes (en particulier celui de ne pas obtenir l'équation du lieu par le logiciel). Tu obtiendras les mêmes courbes en faisant tourner le point $M$ sur, par exemple, le cercle de centre $A$ passant par $C$. Enfin, pour ce lieu, il vaut mieux tourner le carré de $45°$, de façon à ce que la courbe obtenue soit positionnée selon $(Ox)$ et $(Oy)$ (son équation est alors plus simple). Pour la figure ci-dessous j'ai pris $A(0,-1)$, $B(1,0)$, $C(0,1)$ et $D(-1,0)$. L'équation du lieu est alors : $$2 \; x^{4} + 4 \; x^{2} \; y^{2} + 4 \; x^{2} \; y - 3 \; x^{2} + 2 \; y^{4} + 4 \; y^{3} + 5 \; y^{2} = 0.$$
Et merci pour ce développement !
Du point de vue complétude de ces lieux, tu as bien raison pour ce qui est du choix du point mobile et de son parcours ! Merci de cette indication !
En fait, je ne m'attache pas tellement aux équations de ces lieux, c'est surtout leur forme générale, d'un point de vue purement esthétique, qui me plait bien ici ...
D'un autre côté, il y a le problème de leur concours, en un point que les trois points K, L et N de ma figure n'atteignent évidemment pas pour la même position de M. Ce concours semble particulier, car dans le cas où je fais tourner un pentagone régulier construit sur IJ, les trois lieux des autres sommets ne concourent pas en d'autres points que les milieux de AD et AB.
Bien cordialement
JLB
Tu confirmes mon impression.
Tu es bon et même très bon.
J'allais poster le même message quand j'ai vu que tu m'avais devancé!
Jelobreuil n'est absolument pas intéressé par la géométrie mais seulement par son esthétisme.
Il trace ses figures un peu au hasard, un peu à la pêche dirait-on!
Je lui conseille de contempler les oeuvres d'Escher et d'ingurgiter la littérature qui l'accompagne!
Il sera servi!
Amicalement
[small]p[/small]appus
C'est une quartique bicirculaire, une sorte de lemniscate cabossée, dont l’équation polaire est si je ne me suis pas trompé : $\rho =-\sin \theta \pm \sqrt{\frac{3}{2}\cos 2\theta }$.
Hélas, ces belles choses ont disparu de l'enseignement des classes préparatoires.
Bonne et belle journée de mercredi saint 2021.
Fr. Ch.
Si $\alpha=0$ le lieu est le cercle inscrit lui-même. Au fur et à mesure que l'angle $\alpha$ augmente, ce cercle se transforme et, à un moment donné, un noeud se forme (point singulier), pour évoluer vers les lieux en forme de "huit". Je me demande comment on peut calculer la valeur de l'angle $\alpha$ pour laquelle le passage s'opère.
Je me place dans le plan complexe.
Les sommets du carré $ABCD$ ont pour affixes $a=-1-i,b=1-i,c=1+i,d=-1+i$.
Le cercle inscrit dans ce carré est le cercle unitaire de centre $O$ et de rayon $1$.
$M(m)$ est le point de $(BC)$ défini par $m=1+is$ ou $s$ est un paramètre réel.
Pour que la droite $(AM)$ coupe le carré, on supposera que $s\geq -1$.
$(AM)$ coupera alors le cercle en deux points que je renomme $U(u)$ et $V(v)$ car $i$ et $j$ sont réservés quand on calcule en complexes.
Une équation complexe de cette droite est $(2-i(s+1))z-(2-i(s+1))\overline{z}-2i(s-1)=0$.
On aura $u$ et $v$ en substituant $\overline{z}=\dfrac{1}{z}$ dans cette équation.
On obtient une équation du second degré dont le discriminant est $\Delta=16(s+1)$.
Comme $s\geq -1$, on peut poser $s+1=t^2$ où $t$ est un réel positif unique.
On a alors $u=-\dfrac{t+1+i}{t+1-i}$ et $v=-\dfrac{t-1-i}{t-1+i}$
On a $L$ comme image de $V$ par la similitude de centre $U$ et de "rapport" $1+i$, donc $l=u+(1+i)(v-u)$.
En éliminant $t$ entre $l$ et $\overline{l}$, on obtient l'équation complexe:
$z^2\overline{z}^2 + (1-i)z^2\overline{z} + (1+i)z\overline{z}^2 + (2-2i)z^2 + z\overline{z} + (2+2i)\overline{z}^2 + (1+3i)z + (1-3i)\overline{z} - 2=0$
ou encore, en cartésiennes:
$(x^2+y^2)^2 + 2(x^2+y^2)(x+y) + (5x^2+8xy-3y^2) + 2(x-3y) - 2=0$
La droite $(PS)$ a pour équation complexe $z+i\overline{z}+1+i=0$ ou encore $x+y+1=0$ en cartésiennes.
Elle coupe le lieu de $L$ entre autres au point $F\left(\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2}\right)$
On a des résultats analogues avec $n=u+i(v-u)$ et $k=u+j(v-u)$, où $j=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}$.
Les lieux de $N$ et de $K$ passent également par $F$.
Cordialement,
Rescassol
Bien cordialement
JLB
Pour ceux que ça intéresse, voici la construction homologue avec un triangle équilatéral.
Les lieux obtenus ont la même allure générale, toujours aussi "élégante", sauf que cette fois, ils n'ont pas de point commun aux trois ...
Bonne soirée, bien cordialement
JLB
Le nouage s'effectue pour un angle de $25°$ environ, contre $15°$ environ pour le carré.
Je dois t'avouer que je ne comprends pas très bien le "mécanisme" sous-jacent à tes animations, mais cela ne m'empêche pas de les apprécier hautement !
Bien cordialement
JLB
Pour $\alpha=0°$ le lieu est le cercle inscrit et il existe un unique angle entre $0°$ et $90°$ à partir duquel le "huit" commence à se former. On doit pouvoir trouver cette valeur en mettant le problème en équation et en dérivant.
Bonne journée
Merci de ton explication, je comprends mieux, mais tu devrais avoir des courbes différentes pour différentes valeurs de l'angle IAB, n'est-ce pas ?
Bien cordialement
JLB
Personne n'a fait les calculs pour savoir quelle est la valeur de l'angle $\alpha$ à partir de laquelle commence le noeud ? C'est encore moi qui doit m'y coller si je comprends bien! Va-t-on trouver un angle constructible au compas rouillé ça m'étonnerait!.
La valeur de l'angle $\alpha$ à partir de laquelle la courbe possède un point double est obtenue pour $\cos(\alpha)=\dfrac{31}{32}$. Il n'y a plus qu'à sortir le compas rouillé.
Cordialement,
Rescassol
Ci-dessous une construction du point double ($S$ sur la figure) qui donne en même temps celle de l'angle.
Je reprends les points de ma première figure : $A(0,-1)$, $B(1,0)$, $C(0,1)$ et $D(-1,0)$.
Le cercle inscrit au carré $ABCD$ est centré sur l'origine. Son rayon est $ \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$V$ est le point de ce cercle d'ordonnée $\frac{1}{4}$ et d'abscisse positive.
La droite $(AV)$ recoupe ce cercle en $U$, $M$ est le milieu de $[UV]$.
La parallèle à $(Oy)$ passant par $M$ coupe le cercle de centre $V$ passant par $U$ en deux points.
$S$ est celui dont l'ordonnée est négative.
Tout d'abord merci à vous deux de vous être intéressés à cette idée et de l'avoir autant développée, ce dont j'aurais été bien incapable !
Mais, Ludwig, même après avoir relu tes explications, je ne comprends pas tout : en fait, j'ai un problème avec les compositions de rotations : en reprenant mes notations, je n'arrive pas à voir comment le fait de faire tourner le point M sur le cercle circonscrit (plutôt que sur le carré, ce qui est effectivement bien maladroit) en maintenant constant l'angle KIJ ou NIJ aboutit au même résultat (?) que le fait de faire tourner le point K sur le cercle de rayon IJ en maintenant l'angle JAB constant.
D'autre part, je te fais remarquer que ce faisant, tu as négligé le lieu de mon point L, car si effectivement IN est égal à IK, IL est égal à IK.rac2 ... Mais bien entendu, le lieu de L peut se déduire par une homothétie de celui de l'image de J dans une rotation de centre I et d'angle 45° ...
bien cordialement
JLB
Jelobreuil, j'ai donné l'équation du lieu de $L$ un peu plus haut.
Cordialement,
Rescassol
autre construction du point S (notation de Ludwig) qui reste à démontrer ou infirmer .
Cordialement
@ jelobreuil : les deux angles dont tu parles ne jouent pas le même rôle dans ma figure. Si on fait tourner le point $K$ sur le cercle de centre $I$ et de rayon $[IJ]$, en maintenant l'angle $\widehat{JAB}$ fixe, hé bien le lieu de $K$ est le cercle en question bien sûr. Ce n'est pas ainsi que j'ai tracé le lieu de $K$ : je l'ai obtenu, pour un angle $\widehat{KIJ}$ donné, en faisant tourner le point $M$. Une fois ce lieu tracé - qui dépend de $\widehat{KIJ}$ donc - j'ai fait varier cet angle, d'où la déformation du lieu.
Merci Ludwig, Rescassol, de ces précisions !
Ludwig, j'ai (enfin ! c'est pas trop tôt ...) compris la construction de tes animations : ce qui me trompait, c'est que dans celles-ci, le point M ne bouge pas, alors que c'est lui qui est le mobile à l'origine du lieu ...
Merci, fm_31, de ta contribution !
Bien cordialement
Un point $A$ étant donné, il n'y a qu'une seule valeur de l'angle $\alpha $ pour laquelle la courbe obtenue possède un point de rebroussement. Exprimer cet angle en fonction de la distance de $A$ au centre du cercle.
J'étais et je reste bien incapable d'une si belle généralisation !
D'après tes précédentes animations, il semble bien aussi que la valeur de l'angle pour laquelle le point de croisement coïncide avec le centre O du cercle soit particulière : dépend-elle aussi de la distance de A à O ?
Bon après-midi
@Chaurien "Hélas, ces belles choses ont disparu de l'enseignement des classes préparatoires" regarde aussi les chapitres de géométrie des programmes des collèges et lycées ...