Un triangle

soland
soland
dans Géométrie
(1)
Euclidiennement, on voit un disque de rayon 1 centré en $(0,0)$
et deux diamètres de pente 0 et 1 .
Il s'agit d'un modèle de Klein du plan hyperbolique avec deux droites
supportant deux côtés d'un triangle équiangle.
Placer le support du troisième côté.

(2)
Recommencer; cette fois le modèle est de Poincaré.119606

Réponses

  • pappus
    pappus
    Merci Soland
    Je constate que dans les alpages, on connait l'existence des géométries non euclidiennes.
    Tu risques donc d'attendre longtemps avant d'avoir une réponse dans un pays où faire de la géométrie se résume à ânonner les axiomes de Thalès et de Pythagore.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • soland
    soland
    Complément d'information.
    Dans le modèle de Klein le plan hyperbolique est assimilé à un disque ouvert
    et les droites hyperboliques aux cordes ouvertes de ce disque.
    La distance hyperbolique de deux points $a$, $b$ du disque est
    $$
    |\ln([ab,uv])|
    $$
    où $u$ et $v$ sont les extrémités de la corde qui contient $a$ et $b$ ,
    et où $[ab,uv]$ est le birapport des points alignés $a$, $b$, $u$, $v$ .
    Le problème revient à rendre égaux trois birapports.

    La somme des angles d'un triangle hyperbolique est $< \pi$ .
  • pappus
    pappus
    Merci Soland
    Attendons patiemment!
    Je crois que les logarithmes sont encore provisoirement enseignés jusqu'à maintenant mais j'ai de sérieux doutes sur les birapports!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • soland
    soland
    Allure de la solution kleinienne :119628
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Le plan hyperbolique dans le modèle de Klein est l'intérieur du cercle trigonométrique lui même contenu dans $\mathbb R^2$.
    Tout revient à calculer le groupe d'isotropie de l'origine.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonsoir, cher Pappus,
    J'espère que tu ne m'en voudras pas, si je te dis que pour moi, ton dernier message relève d'une géométrie "stratosphérique" ? A cette hauteur-là, je m'avoue bien incapable de te suivre ...
    Mais rassure-toi, cela ne me dégoûte pas pour autant de la géométrie "au ras des pâquerettes" !
    Bonne soirée, bien cordialement
    JLB
  • pappus
    pappus
    Mon cher Jelobreuil
    Tu as pourtant tout ce qu'il faut sous la main.
    Tu connais le rapport donc le birapport!
    Tu connais la fonction logarithme.
    De plus si tu regardes attentivement la figure de Soland, tu peux deviner la réponse!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Je vais modifier la figure de Soland de façon à la transformer en un problème de construction!
    Vous avez donc une feuille de papier plus ou moins chiffonnée sur laquelle est tracé un cercle que vous pouvez toujours supposer être le cercle trigonométrique si vous n'en connaissez pas d'autre, ce qui ne m'étonnerait guère dans notre belle république!
    Vous avez sous les yeux le modèle de Klein du plan hyperbolique, c'est tout simplement l'intérieur de ce cercle.
    [large]Ctipabath![/large]
    Pour faire bonne mesure, vous rajoutez deux points $A$ et $B$ à l'intérieur de ce cercle.
    Maintenant vous sortez votre règle ébréchée et votre compas rouillé et vous me tracez la médiatrice de $AB$ dans ce plan hyperbolique un peu chiffonné!
    J'ai eu l'extrême gentillesse de vous tracer cette médiatrice en rouge.
    Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $C!\ $: $CA=CB.\qquad$
    Vous n'avez plus qu'à superposer votre construction!
    Construire une médiatrice, c'est vraiment le [large]B.A.BA[/large]
    Amicalement
    [small]p[/small]appus119648
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Sait on au moins construire une médiatrice dans le plan euclidien?
    Je n'en suis pas tout à fait sûr.
    Alors le faire dans le plan hyperbolique, c'est mission impossible!
    D'ailleurs en France au vingt et unième siècle, on est même pas au courant qu'il existe des géométries non euclidiennes et quant à la géométrie euclidienne elle même, elle se limite à ânonner les axiomes de Thalès et de Pythagore.
    Plus sérieusement la construction à la règle et au compas de la médiatrice de deux points dans le modèle de Klein, c'est possible évidemment mais c'est vraiment pas de la tarte!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus119710
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