Figures s'intersectant 2 à 2 mais pas 3 à 3

J'ai la même borne inférieure pour les triangles équilatéraux (mais j'avais fais un dessin plus joli...)
En revanche pour démontrer qu'avec 6 c'est impossible je sèche.

Pour le point 4, les polygones seront non convexe?

Mon exemple utilise des polygones non-convexe.
Je n'ai pas encore trouvé de polygones convexe vérifiant : $\Phi(P) \ge 6$.

Ce type de construction peut s'appliquer aussi au carré de justesse.
Mais surtout cette construction se généralise bien aux polygones réguliers à 3*n côtés comme le montre le schéma ci-dessous pour des hexagones réguliers.

Je ne suis toutefois pas convaincu que cela marche pour tous les polygones réguliers, ce serait assez intéressant de découvrir que pour certains polygones réguliers la constructions à 5 polygones est impossible.

En réfléchissant un peu à la question, finalement cette construction est possible pour tout polygone réguliers.

En effet, on construit les deux polygones $P_1$ et $P_2$ centraux de même taille ayant même centre de gravité placé sur l'axe des ordonnées, symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe des ordonnées de manière à ce qu'ils intersectent le demi plan $y \le 0$ en des ensembles distincts (l'un avec des points d'abscisses positives et l'autre avec des points d'abscisses négatives donc.)
L'ensemble des angles $\alpha$ des rotations envoyant $P_1$ sur $P_2$ et satisfaisant cette construction est un intervalle ouvert $\left ]0 ; \frac{\pi}{n} \right [$.

Une fois la construction effectuée, on considère les deux demis plans : $y \ge x\sqrt{3} + k$ et $y \ge - x\sqrt{3}+k$
Si on prend le plus grand entier k tel qu'un demi plan intersecte les deux polygones, alors, l'autre demi-plan va aussi intersecter les deux polygones par symétrie.

Comme k est minimal ici, on en déduit que le plan $y \ge x\sqrt{3} + k$ intersecte disons $P_1$ soit en un point et on a alors la configuration souhaitée soit en un segment.
Si l'intersection est un segment, cela signifie qu'il existe un côté de $P_1$ parallèle à la droite d'équation $y \ge x\sqrt{3} + k$. Et comme il s'agit d'un cas limite, on peut en modifiant légèrement l'angle $\alpha$ se ramener au cas où $y \ge x \sqrt{3} + k$ intersecte $P_1$ en un point.

Oups j'aurais du mieux me relire, je voulais mettre : $y \ge \pm x \sqrt{3}+k$.