Triangles à construire

Bonjour ,
un schéma
Cordialement

C'est le couple (1,3) qui donne (10,12,6)

Bonjour,

Le lieu de $A$ lorsque $C$ varie sur $[OS]$ est une partie d'une courbe en forme de coeur.
En prenant $B(0,0)$ et $T(1,0)$ l'équation de cette courbe est :
$16 \; x^{2} \; y^{6} + 24 \; x^{4} \; y^{4} + 16 \; x^{6} \; y^{2} + 4 \; x^{8} + 4 \; y^{8} - 24 \; x^{2} \; y^{5} - 24 \; x^{4} \; y^{3} - 8 \; x^{6} \; y$
$ - 8 \; y^{7} + 8 \; x^{2} \; y^{4} + 4 \; x^{4} \; y^{2} + 4 \; y^{6} - 8 \; x^{2} \; y^{3} - 4 \; x^{4} \; y - 4 \; y^{5} + 16 \; x^{2} \; y^{2}$
$+ 8 \; x^{4} + 8 \; y^{4} - 4 \; x^{2} \; y - 4 \; y^{3} - x^{2} = 0$.

Oui, il s'agit exactement de la même courbe. La résolution donne :
$$ \left\{ b = \frac{-\sqrt{2 \; a - 1} + 1}{2}, b = \frac{\sqrt{2 \; a - 1} + 1}{2} \right\},$$
ce qui suggère la construction géométrique suivante :
$B(0,0)$, $P(-1,0)$ et Q(0,-1). $C$ variable sur le segment $[DE]$ avec $D(0,\frac{1}{2})$ et $E(0,1)$.
$B'$ symétrique de $B$ par rapport à $C$, $F$ le point de $y=0$ dont l'ordonnée est égale à celle de $B'$ diminuée de $1$.
$m$ le milieu de $[FQ]$ ; le cercle de centre $m$ passant par $F$ coupe $x=0$ en $G$.
$M$ le milieu de $[PG]$.
Les longueurs $PM$ et $MB$ permettent alors de construire le point $A$ à partir de $B$ et $C$ : $CA=MB$ et $AB=PM$.
Malheureusement le logiciel ici ne donne pas l'équation du lieu de $A$ (j'ai du la vérifier en la prenant dans l'autre figure). Il s'agit pourtant de la même courbe. Ce qui montre au passage que la façon dont est construit une figure conditionne sa mise en équation par le logiciel.