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soland
soland
dans Géométrie
Deux tétraèdres ont les mêmes longueurs d'arête :
deux fois 1 et quatre fois $4\,.$
Sont-ils forcément isométriques ?

Et en général ?

Réponses

  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonjour Soland,
    Un début de raisonnement de ta question :
    Soit un tétraèdre ABCD, où AB = AC = AD = BC = 4 et BD = CD = 1, et un autre tétraèdre A'B'C'D' où A'B' = B'C' = B'D' = C'D' = 4 et A'C' = A'D' = 1. Parmi leurs quatre faces, il y a un triangle équilatéral (ABC dans le premier, B'C'D' dans le deuxième), deux triangles isocèles 4-4-1 (ABD et ACD dans le premier, A'B'C' et A'B'D' dans le deuxième) et un triangle isocèle 4-1-1 (BCD dans le premier, A'C'D' dans le deuxième). Donc, dans le premier, le plan médiateur de l'arête BC, auquel appartiennent les sommets A et D, est un plan de symétrie de ce tétraèdre, et dans le deuxième, c'est le plan médiateur de l'arête C'D'.
    D'après mes vieux souvenirs de stéréochimie, ces deux tétraèdres seront donc soit identiques, soit symétriques l'un de l'autre par rapport à un plan, et donc forcément isométriques ...
    Archi-faux ! Merci GaBuZoMeu
    Bien cordialement
    JLB
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonjour,

    Comment faire pour avoir
    BC = 4 et BD = CD = 1
    ???
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Les côtés de longueur 1 n'ont pas de sommet commun.

    Cordialement.
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Merci, GaBuZoMeu, de m'avoir rappelé les inégalités triangulaires !
    Les quatre faces des tétraèdres de Soland sont donc toutes des triangles isocèles 4-4-1 ... et là, je reste sec !
    Bien cordialement
  • gerard0
    gerard0
    Soland,

    appelons A, B, C et D les sommet, avec AB=1 et CD = 1. A isométrie près, il y a un seul triangle ABC possible. Puis D est l'intersection de trois sphères qui ont deux intersections possibles symétriques par rapport au plan (ABC), ce qui donne deux figures isométriques. La réponse est oui.

    Je n'ai pas affiné ce schéma de preuve, il y a trop longtemps que je ne fais plus de rédaction géométrique non élémentaire.

    Cordialement.
  • kolotoko
    kolotoko
    Bonjour,

    un tétraèdre ABCD :

    dans l'espace muni d'un repère orthonormé A(0,1/2, 0) ; B( 0, -1/2, 0) ; C (a, 0, 1/2) ; D (a, 0, -1/2) .

    AB = 1, CD = 1, il faut choisir le nombre a pour que BD = BC = AC = AD = 4, ce qui se fait aisément .

    Cela ne répond pas à la question de soland.

    Bien cordialement.

    kolotoko
  • soland
    soland
    En géométrie, fermer les yeux est une technique souvent efficace.
    On imagine un schéma que l'on anime, comme au cinéma.

    Dans le cas du tétraèdre $T_1$ de type $(aabbbb)$ il y a deux cas.

    (1) Les arêtes $a$ n'ont pas de sommet commun.
    Le bon schéma (de Schlegel) est un carré $(bbbb)$ avec ses diagonales $(aa)$ .
    On voit que $a<b\sqrt{2}$ est une CN (condition nécessaire) pour que $T_1$ existe.
    Dans le petit cinéma on contracte $a$ . Une arête $a$ se soulève, l'autre descend.
    Le carré $(bbbb)$ se déforme en losange gauche; autre CN : $0<a$ .
    Pour la CS on construit le tétraèdre : $A,C:(\pm u,0,z)$ , $B,D:(0,\pm u,-z)$
    Etc.$\qquad$ CNS : $0<a<b\sqrt{2}$

    (2) Les arêtes $a$ ont un sommet commun.
    Schéma : un triangle équilatéral $(bbb)$ et un triangle isocèle $(aab)$ se partageant
    un côté $b$ . CN : $0<b<2a$ .
    Cinéma : $(bbb)$ est fixe, $(aab)$ tourne autour de l'arête commune $[AB]$ ,
    la distance $|CD|$ varie entre deux extrêmes. Pour obtenir ces derniers le plus simple
    est de passer par le déterminant de CM (Cayley.Menger), un carré qui doit être positif :
    $a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 + (-2 a^2 - b^2) x^2 + x^4 > 0$

    A SUIVRE
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