Un volume maximum

Voici un problème 3D dont l'analogue 2D a une jolie solution graphique.

Dans l'espace euclidien 3D, un point noir P se promène sur une sphère
de rayon $r$, centrée au sommet O d'un trièdre trirectangle O$xyz$ fixe.
En accord avec P, trois points X, Y, Z se promènent sur O$x$, O$y$, O$z$
respectivement, de manière que les distances $a := |PX|$,
$b := |PY|$ , $c := |PZ|$ restent constantes.
Où placer P pour que le volume du pavé construit sur OXYZ soit maximal ?

Je peine et grogne...