Colinéarité dans $\R^3$

tgbne
tgbne
dans Géométrie
Bonjour, j'aimerais savoir si deux droites d1 et d2 de R3, qui sont colinéaires et qui s'expriment respectivement :
t.u1 + l1
t.u2 + l2,
avec u1 et u2 deux vecteurs, l1, l2 deux points de R3 et t un réel.

La colinéarité de d1 et d2 se traduit par u1=k.u2 ou encore u2 = k.u1 avec k un réel ?
Je vous remercie.

Réponses

  • bisam
    bisam
    Tout est mal dit et mal quantifié.

    On ne dit pas que deux droites sont colinéaires : on dit qu'elles sont parallèles.

    Une droite ne s'exprime pas... En revanche, elle peut posséder une représentation paramétrique, mais dans ce cas, il faut des quantificateurs. Tu as mis plein de variables, mais tu n'as exprimé aucun quantificateur, ce qui fait que ce que tu as donné n'est pas du tout une représentation paramétrique de droite.

    Enfin, il n'y a pas non plus de quantificateur dans ta question, ce qui fait qu'elle n'a pas de sens.
    Bref, tu as les bonnes idées... mais ce qui te fait défaut, c'est essentiellement la quantification.
  • philou22
    philou22
    À noter que si tu veux savoir si deux vecteurs de l'espace sont colinéaires en faisant juste un calcul, tu peux calculer leur produit vectoriel.
  • Dasson
    Dasson
    Peut être utile
  • tgbne
    tgbne
    En fait, je dois retrouver la formule de la distance entre deux droites d1 et d2 colinéaires dans R3.

    Pour deux droites quelconques, il est donné la formule :

    distance = (|det(l2 - l1,u2,u1)|) / (|produit vectoriel (v1, v2)|)

    Une petite aide ? Je vous remercie.

    @Dasson Merci pour la vidéo.
  • pappus
    pappus
    Bonjour tgbne
    On vient de te dire qu’il n’existe pas de droites colinéaires et malgré tout, tu persistes et signes!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • gerard0
    gerard0
    Pour 2 droites parallèles de même vecteur directeur $v(a,b,c)$ et passant l'une, $(D)$ par $A$, l'autre, $(D')$ par $B$, la distance est facile à trouver, c'est la distance de $A$ à son projeté orthogonal $A'$ sur $(D')$.

    Cordialement.
  • tgbne
    tgbne
    @gerard0 d'accord merci, c'est plus clair comme ça.

    Donc si je note les coordonnées A(x,y,z) et H(x',y',z'). La distance des deux droites droites d1 et d2 est égale à la racine carrée de (x'-x)2 + (y'-y)2 + (z'-z)2.

    Après, je ne sais pas car cela ne me semble pas assez général pour déterminer une formule de distance. En plus, je n'utilise pas la vecteur directeur v(a,b,c). Y a-t-il possibilité de définir une formule plus générale (en posant une base de R3, en utilisant un produit scalaire ou un produit vectoriel) ?
  • gerard0
    gerard0
    Ben oui !

    J'ai pensé que tu étais capable de traduire mon indication autrement que formellement (ta formule ne sert à rien, puisque tu ne connais pas les coordonnées de H). Utilise les méthodes habituelles pour trouver un projeté ($\vec{BH}$ est le projeté de $\vec{BA}$ sur $(D')$).
  • tgbne
    tgbne
    Est-ce qu'il faut que j'introduise un plan ? Le problème c'est qu'en partant de cet exemple, je ne connais que le vecteur directeur des deux droites D et D' : v(a,b,c) Or j'imagine que la distance de D à D' correspond à la projection orthogonale de v sur la droite normale n au plan P (contenant D' et par conséquent v(a,b,c)). J'ai toujours compris qu'un plan était dirigé par deux droites non colinéaires alors que là je ne connais que D' du plan... si on pouvait m'aider à débloquer.
  • gerard0
    gerard0
    Il te manque apparemment pas mal de connaissances de base de géométrie analytique !

    Soit (D) une droite de l'espace définie par le point A et le vecteur directeur $\vec v$. Soit M un point de l'espace et H son projeté sur (D), alors
    $\vec{AH} = \frac{\vec{AM}.\vec u}{||\vec u||^2} \vec u$
    Tu trouveras la même formule sur Wikipédia "projection orthogonale"; tu aurais pu chercher toi-même !!

    Question : Pourquoi cherches-tu ces formules qu'on trouve facilement sur Internet ? Pourquoi sur un forum ?
  • soland
    soland
    Avant les calculs.

    Soit
    $D: p+\mu v$
    $E: q+\nu w$

    Méthode (1)
    La direction de la perpendiculaire commune à $D$ et $E$ est $n:=v\wedge w$
    Ensuite on cherche à donner cette direction au vecteur $d:=(q+\nu w)-(p+\mu v)$

    Méthode (2)
    On conçoit $d$ comme une fonction des variables $\mu$ et $\nu$
    Ensuite on cherche le minimum de $\| d \|^2$ via les dérivées etc.

    Méthode (3)
    On projette orthogonalement $p$ et $q$ sur n'importe quelle droite de direction $n$ .

    EXERCICE
    Choisir une donnée numérique et comparer les résultats donnés par les trois méthodes.
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