Inversion

Mon cher Budin
L'Algèbre n'est pas barbare!
Elle est Divine!
Regarde déjà le cas particulier où les deux cercles sont sécants en deux points distincts $A$ et $B$.
Trace les cercles d'inversions et tu comprendras!
On regardera ensuite les autres cas!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

Ne serait-ce pas Félix ?

Cordialement,

Rescassol

Merci Budin pour cette précision!
Essaye de regarder la méthode que je préconise.
Détermine ce sous-groupe fini et regarde comment il opère sur le faisceau de cercles engendré par les deux cercles de départ.
Et je te rappelle que leur axe radical fait partie de ce faisceau!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Budin
Dommage car le groupe circulaire n'est pas là pour nous embêter mais plutôt pour nous faciliter la tâche.
Qu'apprenait-on en classe de Mathématiques?
Eh bien que les centres d'homothéties de deux cercles sont les pôles des inversions qui les échangent.
En général deux cercles ont deux centres d'homothéties.
L'un $O_+$ est le centre d'homothétie positive, l'autre $O_-$ est le centre d'homothétie négative.
J'appellerai $s_+$ l'inversion de pôle $O_+$ et $s_-$ l'inversion de pôle $s_-$.
Voici le genre de raisonnement que pouvait tenir un agrégatif, il y a encore quelques années, quand le groupe circulaire ne s'était pas fait la malle!
On regarde le conjugué $s_-\circ s_+\circ s_-$.
C'est une transformation circulaire indirecte d'ordre $2$ donc c'est une inversion qui échange nos deux cercles.
On a donc soit $s_-\circ s_+\circ s_ = s_+$ soit $s_-\circ s_+\circ s_=s_-$.
Mais la seconde possibilité est interdite car elle entrainerait $s_-\circ s_+=id$ et par suite $s_+=s_-$ ce qui est absurde!
Donc reste la première: $s_-\circ s_+\circ s_ = s_+$
qui signifie que $s_+$ et $s_-$ commutent!
Je te laisse continuer si tu le peux!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir,

Soient en complexes les deux cercles de centres $O_1(o_1)$ et $O_2(o_2)$ et de rayons $R_1$ et $R_2$.
La distance des centres est $d=O_1O_2$ calculable par son carré $d^2=(o_2-o_1)(\overline{o_2}-\overline{o_1})$.
Les deux centres d'homothéties sont $U(u)$ et $V(v)$ avec $u=\dfrac{R_2o_1-R_1o_2}{R_2-R_1}$ et $v=\dfrac{R_2o_1+R_1o_2}{R_2+R_1}$
Le pied de l'axe radical est $K(k)$ avec $k=\dfrac{o_1+o_2}{2}-\dfrac{R_2^2-R_1^2}{2(\overline{o_2}-\overline{o_1})}$.
Les deux inversions sont données par $F(z,\overline{z})=u+\dfrac{r}{\overline{z}-\overline{u}}$ et $G(z,\overline{z})=v+\dfrac{s}{\overline{z}-\overline{v}}$ où
$r=\dfrac{R_1R_2(d^2-(R_2-R_1)^2)}{(R_2-R_1)^2}$ et $s=\dfrac{R_1R_2((R_2+R_1)^2-d^2)}{(R_2+R_1)^2}$.
$F$ échange $a_1$ et $b_2$ ainsi que $a_2$ et $b_1$. $G$ échange $a_1$ et $a_2$ ainsi que $b_2$ et $b_1$.
Ces deux inversions commutent et leur composée est la transposition circulaire:
$H(z,\overline{z})=\dfrac{((R_2^2-R_1^2) + (o_1+o_2)(\overline{o_1}-\overline{o_2}))z + 2((\overline{o_2}R_1^2-\overline{o_1}R_2^2)-o_1o_2(\overline{o_1}-\overline{o_2}))}{2(\overline{o_1}-\overline{o_2})z - ((R_2^2-R_1^2)+(o_1+o_2)(\overline{o_1}-\overline{o_2}))}$.
Cette transposition a pour point limite le pied $K$ de l'axe radical.
Ses points fixes sont les projetés orthogonaux des points d'intersection des tangentes externes et internes aux deux cercles sur la droite des centres.
Ils sont solutions de l'équation $az^2+2bz+c=0$ où
$a=2(\overline{o_1}-\overline{o_2})$
$b=(R_1^2-R_2^2)-(o_1+o_2)(\overline{o_1}-\overline{o_2})$
$c=-2o_2R_1^2 + 2o_1R_2^2 + 2o_1o_2(\overline{o_1}-\overline{o_2})$
Enfin, l'identité, les deux inversions $F$ et $G$ et la transposition $H$ forment un groupe isomorphe au groupe de Klein.

Je joins une figure et j'espère qu'il n'y a pas trop d'erreurs de calcul.

Cordialement,

Rescassol

Edit: Je n'avais pas vu le dernier message de Pappus.

Bonjour Rescassol
Dans le cas que tu traites de $2$ cercles $O_{1}$ et $O_{2}$ sans point réel commun, les points fixes de ta transposition circulaire sont les points limites (ou points de Poncelet ou cercles de rayon nul) du faisceau engendré par les $2$ cercles.
Bien cordialement. Poulbot

Bonjour à tous
Après s'être immergé dans l'âme de cette femme, il est dur de remettre les mains dans le cambouis des inversions!
Vraiment aucune envie.
Donc au départ on a deux cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$ de centres respectifs $\omega$ et $\omega'$ et on suppose qu'ils sont échangés par deux inversions.
Soit $s$ l'une d'entre elles.
Soit $\mathcal F$ le faisceau de cercles engendré par les cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$.
Je noterai $\mathcal F^{\perp}\ $ le faisceau conjugué ou orthogonal.
Soit $\gamma\in \mathcal F^{\perp}.\qquad$.
Ce cercle $\gamma\ $ est donc orthogonal aux cercles $\Gamma\ $ et $\Gamma'.\qquad$
Comme $s$ conserve les cercles et l'orthogonalité, $s(\gamma)$ est un cercle orthogonal aux cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$, ainsi:
$$s(\gamma)\in \mathcal F^{\perp}.\qquad$$
L'inversion $s\ $ laisse stable le faisceau $\mathcal F^{\perp}.\qquad$
En répétant ce raisonnement à partir de deux cercles de $\mathcal F^{\perp}.\qquad$, on voit que $s$ laisse stable le faisceau $\mathcal F$ tout aussi bien!
Ceux qui veulent frimer et connaissent l'espace (projectif) des cercles savent qu'un faisceau de cercles est tout simplement une droite projective de cet espace.
On peut donc dire que $s$ induit une involution sur les faisceaux $\mathcal F$ et $\mathcal F^{\perp}.\qquad$
En revenant à nos deux inversions $s_+$ et $s_-$, il reste à comparer les involutions qu'elles induisent sur ces faisceaux!
Amicalement
[small]p[/small]appus