Composition d'isométries dans $\R^3$
Bonjour,
soit f et g deux isométries de R3. Je dois montrer que fog est différent de gof. En prenant f une rotation et g une symétrie glissée, j'ai réussi à montrer, que fog est différent de gof dans R2.
Avec les expressions d'une rotation : f(z) = eirz+(1-eir)z',
avec z un nombre complexe, z' l'affixe du centre de rotation et r un angle.
Et l'expression d'une symétrie glissée :
g(z) = a*conjugué(z) + z'
avec a un nombre complexe de module 1, z et z' des nombres complexes.
Ma question est : comment je peux montrer que fog est différent de gof dans R3 ? Puis-je étendre ces formules ? J'ai essayé de voir des cours d'isométrie dans R3 mais je ne vois que l'expression de matrices en dimension 3.
Quelle est la bonne méthode ? Si vous [connaissez] des outils pour m'aider. Je vous remercie.
soit f et g deux isométries de R3. Je dois montrer que fog est différent de gof. En prenant f une rotation et g une symétrie glissée, j'ai réussi à montrer, que fog est différent de gof dans R2.
Avec les expressions d'une rotation : f(z) = eirz+(1-eir)z',
avec z un nombre complexe, z' l'affixe du centre de rotation et r un angle.
Et l'expression d'une symétrie glissée :
g(z) = a*conjugué(z) + z'
avec a un nombre complexe de module 1, z et z' des nombres complexes.
Ma question est : comment je peux montrer que fog est différent de gof dans R3 ? Puis-je étendre ces formules ? J'ai essayé de voir des cours d'isométrie dans R3 mais je ne vois que l'expression de matrices en dimension 3.
Quelle est la bonne méthode ? Si vous [connaissez] des outils pour m'aider. Je vous remercie.
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Réponses
Si par exemple $f$ est l’identité, alors on a $f\circ g=g\circ f$.
Si on veut un exemple où ça ne commute pas, il suffit de faire le bon choix.
Par exemple, avec deux symétries orthogonales par rapport à deux plans parallèles, on obtient deux translations de vecteurs opposés.
Cordialement,
Rescassol
Quel est le groupe des commutateurs du groupe des isométries?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Deux symétries axiales ne commutent pas si l'angle des axes est $\neq0\pmod{\pi/2}$
Dimension $n+2$ :
On prend un repère orthnormé $(oe_i)$ . Dans le plan $(oe_1e_2)$ on reproduit la situation non commutative précédente, ensuite on fixe tous les $e_j$ pour $2<j$ .
On est dans un espace affine ou bien un espace vectoriel ?
Deux symétries axiales ne commutent pas non plus si l'angle des axes est nul, sauf si c'est le même axe.
Cordialement,
Rescassol
Ah oui, le cas des translations !
Le vecteur $w$ cherché est du type $w := v+\kappa n$
$w$ et $v$ ont la même norme : $\|w\| = \|v\|$
$\|w\|^2 = \|v\|^2$
$w \centerdot w = v \centerdot v$
$(v+\kappa n) \centerdot (v+\kappa n) = v \centerdot v$
$(v \centerdot v) + 2\kappa (v \centerdot n) + (\kappa^2 n \centerdot n) = v \centerdot v)$
$\kappa (2(v \centerdot n) + \kappa (n \centerdot n)) = 0$
$\kappa \neq 0$ mais $\kappa = ...$ etc.
P.S. Même chose que Godzilla, mais autrement dit.
"Par exemple, avec deux symétries orthogonales par rapport à deux plans parallèles, on obtient deux translations de vecteurs opposés."
Ce sont donc deux réflexions. Mais je ne vois pas comment poser le calcul. Visuellement, j'ai même un doute si on part d'un vecteur x de R3.
-- Schnoebelen, Philippe