Le triangle isocèle

Djelloul, tu te moques de qui, là ?
Avec cette manie de poser des questions simples de façon compliquée, sur des sujets qui tournent toujours autour d'angles triples ou trissectés, ne t'étonne pas si tes messages suscitent de moins en moins de réponses !
Ton triangle isocèle ABC n'étant pas autre chose que le triangle formé par deux côtés consécutifs (AB et AC) et une diagonale (BC) d'un pentagone régulier BACDE, j'ose espérer que n'importe quel inscrit sur ce forum ayant atteint un honnête niveau (de troisième, a priori : je n'ai aucune idée des programmes actuels) peut te répondre que $AB = 1/\phi$ !!
Bien cordialement quand même
JLB
Djelloul, je te prie de m'excuser d'avoir réagi un peu violemment ce matin : tu aurais dû préciser "sans trigo" !

Bonsoir,

Soit $M$ le milieu de $[AB]$ et $D$ le point d'intersection de $(AB)$ avec la droite symétrique de $(BC)$ par rapport à $(AC)$.
On pose $x=DM$ et $y=BM$.
À l'aide de petits calculs angulaires on montre que les triangles $BDC$ et $ADC$ sont isocèles et semblables.
D'où l'égalité $ \frac{x-y}{2y} = \frac{2y}{x+y}$, c'est-à-dire $x^2-y^2=4y^2$.
On a donc $x=y\sqrt{5}$. Or $x+y=1$. Donc $y =\frac{1}{1+\sqrt{5}}$. Et par conséquent $AB=2AM=\frac{2}{1+\sqrt{5}}$.