La droite de Seimiya
dans Géométrie
Bonjour,
pour aller vers un orthopôle personnel, je vous propose dans un premier temps, ce problème datant de 1926
1. ABC un triangle
2. (O) le cercle circonscrit à ABC
3. Q un point de (O)
4. Q1, Q2, Q3 les symétriques de Q resp. par rapport à (BC), (CA), (AB)
5. P un point de (O)
6. S1, S2, S3 les points d'intersection resp. de (PQ1) et (BC), (PQ2) et (CA), (PQ3) et (AB).
Question : S1, S2 et S3 sont sur la droite de Seimiya..
Merci A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis
pour aller vers un orthopôle personnel, je vous propose dans un premier temps, ce problème datant de 1926
1. ABC un triangle
2. (O) le cercle circonscrit à ABC
3. Q un point de (O)
4. Q1, Q2, Q3 les symétriques de Q resp. par rapport à (BC), (CA), (AB)
5. P un point de (O)
6. S1, S2, S3 les points d'intersection resp. de (PQ1) et (BC), (PQ2) et (CA), (PQ3) et (AB).
Question : S1, S2 et S3 sont sur la droite de Seimiya..
Merci A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Avec Morley circonscrit (j'ai renommé $Q1, S1 ...$ en $Q_A, S_A ...$): Cordialement,
Rescassol
merci Rescassol pour ta preuve...
Une preuve synthétique?
Sincèrement
Jean-Louis
j'utilise les coordonnées barycentriques.
Le triangle de référence :
$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$
(O) le cercle circonscrit à ABC :
$c^2 x y + b^2 x z + a^2 y z=0.$
Q un point de (O) :
$Q \simeq \left[\begin{array}{c} a^2 (-1 - u) u\\b^2 (-1 - u)\\ c^2 u\end{array}\right].$
Q1, Q2, Q3 les symétriques de Q resp. par rapport à (BC), (CA), (AB) :
$Q_1, Q_2, Q_3\simeq \left[\begin{array}{c} -a^2 u (1 + u)\\ (1 + u) ((a^2 - c^2) u + b^2 (1 + u))\\ u (c^2 u + a^2 (1 + u) - b^2 (1 + u))\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} (1 + u) (b^2 - c^2 + a^2 (1 + u))\\ -b^2 (1 + u)\\ c^2 - a^2 (1 + u) + b^2 (1 + u)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} u (b^2 - c^2 + a^2 u)\\ b^2 + (a^2 - c^2) u\\ c^2 u\end{array}\right].$
P un point de (O) :
$P \simeq \left[\begin{array}{c} a^2 (-1 - v) v\\ b^2 (-1 - v)\\ c^2 v\end{array}\right].$
S1, S2, S3 les points d'intersection resp. de (PQ1) et (BC), (PQ2) et (CA), (PQ3) et (AB) :
$S_1\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -(1 + u) (1 + v) ((a^2 - c^2) u v + b^2 (u + v + u v))\\ u v (-a^2 (1 + u) (1 + v) + b^2 (1 + u) (1 + v) + c^2 (1 - u v))\end{array}\right].$
$S_2\simeq \left[\begin{array}{c} -(1 + u) (1 + v) (b^2 - c^2 + a^2 (1 + u + v))\\ 0\\a^2 (1 + u) (1 + v) - b^2 (1 + u) (1 + v) + c^2 (-1 + u v)\end{array}\right].$
$S_3\simeq \left[\begin{array}{c} u v (b^2 - c^2 + a^2 (1 + u + v))\\ (a^2 - c^2) u v + b^2 (u + v + u v)\\ 0\end{array}\right].$
Le déterminant formé par les coordonnées barycentriques des points $S_1, S_2,S_3$ est nul.
Ainsi les points $S_1, S_2,S_3$ sont alignés sur la droite de Toshio Seimiya dont une équation barycentrique est :
$-(b^2( u + v) + 2S_Cu v) (-2S_A +
(a^2 - b^2) u + (a^2 - b^2) v + 2S_Bu v))x $
$+u v (2S_C + a^2( u + v)) (-2S_A + (a^2 -
b^2) u + (a^2 - b^2 )v + 2S_B u v)y $
$-(1 + u) (1 + v) (2S_C + a^2( u +v)) (b^2( u + v) +
2S_C u v)z=0.$
Amicalement
une preuve synthétique?
Sincèrement
Jean-Louis
Pour compliquer encore plus ton problème :
la droite Q1 Q2 Q3 est l'homothétique de la droite de Simson de Q.
Soient Q'1 Q'2 Q'3 les équivalents pour un autre rapport d'homothétie avec le même centre Q : la propriété d'alignement des points S'1, S'2, S'3 (équivalents à S1, S2, S3) reste vraie, et l'intersection des droites Q'1Q'2Q'3 et S'1S'2S'3 décrit une droite passant par Q quand le rapport varie.
Ceci est une pure constatation.
Amicalement
Pierre