Billard augmenté

Gagné poulbot !
Et la longueur du trajet est alors $2\sqrt{9+6\sqrt{3}}$ cm.

Solution
D'après la loi de la réflexion les droites $(AC)$ et $(BC)$ font des angles égaux avec la normale à la bande au point $C$, c'est-à-dire avec la droite $(OC)$. De même on a $\widehat{CBO}= \widehat{OBA}$. Ainsi $O$ est le point d'intersection des bissectrices du triangle $ABC$. Le triangle $AOB$ étant isocèle, $ABC$ l'est donc aussi. Et comme l'angle $\widehat{ACB}$ est droit on a $\widehat{ABC}= \widehat{BAC}=\frac{ \pi}{4}$.
Notons $r$ le rayon recherché. En appliquant la loi des sinus dans le triangle $BCO$ on obtient $ \frac{r}{sin( \frac{ \pi}{8})} = \frac{1}{sin( \frac{ \pi}{4})}$, c'est-à-dire :
$$r= \frac{\sin \frac{\pi}{8}}{\sin \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}.$$