Morley sans trisectrices

Bonjour,

1) Je parie, à priori, que si on prend $D,E,F$ à l'extérieur de $ABC$, c'est encore vrai.
2) Pas le temps tout de suite cause kiné, mais la méthode avec Morley circonscrit est claire:
On passe de $B$ à $D$ par une similitude de centre $A$, d'angle $\dfrac{\pi}{6}$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$, et permutation circulaire, d'où les affixes de $D,E,F$.
Il n'y a plus qu'à vérifier que $d+je+j^2f=0$ (ou l'autre).

Cordialement;

Rescassol

Bonjour
Chaurien a évidemment raison puisqu'on a $3$ triangles isocèles semblables. Le point commun aux droites $AE,BF,CD$ rappellera des souvenirs à ceux qui ont regardé "Secrets d'histoire" à la télé hier soir.
Petite question subsidiaire : exprimer la longueur d'un côté du triangle $DEF$ en fonctions des longueurs $a,b,c$ des côtés de $ABC$
Bien cordialement. Poulbot

Bonjour pappus,
Alain, comment fais-tu un triangle commutatif en Latex ?
J'ai tenté ceci :

$\xymatrix{
& \mathcal{L} \ar[dl]_{\pi_j} \ar[dr]^{\pi_i}
\ar@{}[d]|-{\circlearrowleft} \\
G_j \ar[rr]_{\pi_i^j}
&& G_i
}
$
Amicalement.

Merci Bouzar
Saurais-tu faire un diagramme commutatif en forme de triangle équilatéral (qui semble tant obséder Ludwig)?
La syntaxe $\LaTeX$ de ces diagrammes commutatifs n'est pas aisée à retenir et de plus mon triangle n'est pas tout à fait commutatif puisque les flèches tournent dans le même sens.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Poulbot
Pourtant le triangle de similitude est le second triangle de Brocard inscrit dans le cercle de similitude lequel est le cercle de Brocard de diamètre $OK$ joignant le centre $O$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ à son point de Lemoine (sans y)$K.\qquad$
Le triangle invariable dont les sommets sont situés sur les médiatrices, est indirectement semblable au triangle $ABC$ dans une similitude de centre $G$.
Je ne sais pas trop quelles sont les droites invariantes de cette similitude indirecte mais tu dois le savoir car tu sais tout!
Quant au point directeur, il n'est autre que le centre de gravité $G$.
Tout cela parait trop beau pour être vrai et nos anciens devaient être dans l'épectase en contemplant cette configuration!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Référence: Rouché-Comberousse Géométrie dans l'espace, Note III Sur les transformations linéaires et quadratiques, Article 54, page 635
Un petit clin d'oeil!
Il ne faut pas prendre les transformations linéaires du Rouché-Comberousse pour ce que vous croyez. Ce sont des transformations projectives défuntes et bien défuntes!

Bonsoir,

La longueur d'un côté du triangle $DEF$ est $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}Aire(ABC)}{6}}$.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour à tous
Je voudrais critiquer l'énoncé de Ludwig, (j'espère qu'il ne m'en tiendra pas rigueur!), pour le replacer dans son véritable cadre auquel Poulbot et moi avons fait allusion (entre nous!).
La figure que nous a proposée Ludwig est exacte mais son énoncé est à prendre avec des pincettes.
Dans un premier temps, je voudrais modifier (légèrement) son énoncé pour le rendre exact.
Comme il nous a dit que le triangle $ABC$ pouvait être quelconque, je me suis permis de prendre le triangle $ABC\ $ un peu raplapla pour voir ce qui se passait et j'ai obtenu la figure suivante.
Cette figure est elle bien gérée par son énoncé?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir Ludwig
La manière dont tu veux poser cet exercice est intéressante en elle même car je pense qu'ainsi on peut la proposer à des lycéens de Terminales, ce qui n'est pas le cas de ce ce que je veux faire.
Je vais déjà analyser ta seconde phrase, la première se contentant d'affirmer que le triangle $ABC\ $ est quelconque.
Je cite: Les triangles $ABD$, $BCF$ et $AEC$ sont semblables
En particulier les triangles $ABD$ et $BCF$ sont semblables.
Traditionnellement cela signifie que l'application affine $s:ABD\mapsto BCF$ est une similitude
Cette notation signifie $s(A)=B$, $s(B)=C$, $s(D) =F$
L'ordre des points est donc très important.
C'est pourquoi dire que les triangles $BCF$ er $AEC$ est une erreur car il implique que $B$ s'envoie sur $A$ et $C$ sur $E$, alors qu'on s'attend plutôt à ce que $B$ s'envoie sur $C$, $C$ sur $A$ et $F$ sur $E$
Tu aurais dû donc écrire:
les triangles $ABD$, $BCF$ et $CAE$ sont semblables
Maintenant il y a similitudes et similitudes.
Quand j'ai appris la théorie des triangles semblables, il n'y avait aucune idée de transformations sous jacentes.
On apprenait cette théorie en Seconde, essentiellement pour pouvoir montrer le théorème de Pythagore.
C'est pourquoi le théorème de Pythagore a perdu son statut de théorème et est devenu un axiome puisque la théorie des similitudes n'est plus enseignée!
Si on veut avoir un énoncé propre, il faut penser aux similitudes en tant que transformations et les seules enseignées chez nous avant leur abolition étaient les similitudes directes qui occupaient tout un chapitre du Lebossé Hémery et qui avaient le gros avantage de former un groupe.
Tu aurais dû donc écrire:
Les triangles $ABD$, $BCF$ et $CAE$ sont directement semblables
Mais ton choix des notations $D$, $E$, $F$ n'est pas très heureux.
Le coté $BC$ est opposé au sommet $A$, le coté $CA$ au sommet $B$ et le côté $AB$ au sommet $C$.
Pour respecter l'ordre lexicographique, j'aurais plutôt choisi les triangles $BCD$, $CAE$, $ABF$.
Maintenant j'aurais proposé l'énoncé suivant qui n'a rien à voir avec le tien et qui est beaucoup beaucoup beaucoup plus dur (?) à résoudre:
Soit $ABC$ un triangle quelconque, trouver tous les triangles équilatéraux $DEF$ tels que les triangles $BCD$, $CAE$, $ABF$ soient directement semblables.
Essaye maintenant de rédiger un nouvel énoncé plus élémentaire pour des lycéens mais correct cette fois-ci en s'inspirant de ce que tu voulais proposer avec tes angles de $30°$, $30°$, $120°$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Il y a aussi des similitudes indirectes intervenant sur la figure et il y a des choses très intéressantes à dire sur elles!

Bonjour à tous
Ou on pose cet exercice de Ludwig correctement au ras des pâquerettes à des élèves de Troisième comme je l'ai suggéré et il faudra toute la virtuosité de Jean-Louis pour le résoudre avec les maigres moyens du bord, en gros les axiomes de Thalès et de Pythagore ou bien on pose mon exercice à des Capésiens ou des Agrégatifs ou peut-être à de bons élèves de Terminales s'ils ont choisi la bonne section car ils sont censés savoir ce qu'est une similitude directe (prière de ne pas rire!).
Mais je doute fort qu'ils puissent faire par eux mêmes ne serait-ce que le début du commencement du moindre calcul compte tenu de la vacuité de leurs connaissances en géométrie!
Amicalement
[small]p[/small]appus