Racine cubique de 2

Ludwig
Ludwig
dans Géométrie
Bonjour,

$ABC$ est un triangle isocèle en $C$ tel que $AB=2$ et $AC= \sqrt[3]{2}$.
$D$ et $E$ sont les points du segment $[AB]$ tel que $AC=AE=BD.$
$O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $CDE$.
$(OA)$ coupe $(CD)$ en $L$, $(OB)$ coupe $(CE)$ en $K$.

1°) Démontrer que $\widehat{DCE}=\widehat{ABC}$.
2°) Et bien sûr $LHK$ est équilatéral. Prouvez-le! Puis calculer la longueur de ses côtés.120696

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Le côté du triangle équilatéral $HKL$ est $\dfrac{-7r^2+12r-4}{r-1}$, où $r=\sqrt[3]{2}$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour
    Pourquoi pas un côté de longueur $\root{3}\of{2}\left( \root{3}\of{2}-1\right) $?
    Cordialement. Poulbot
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour Poulbot,

    Tu as raison, je ne me suis pas donné la peine de simplifier, les deux sont égaux.

    Cordialement,

    Rescassol

    Edit: En plus, j'ai oublié une racine : $\dfrac{\sqrt{-7r^2+12r-4}}{r-1}$
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Les triangles $CDK$ et $CEL$ sont isocèles et semblables à $ABC$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour
    Ludwig (et peut-être d'autres) semblant friand de ce genre d'exo, en voici un $\left( n^{\circ }1191\right) $ posé dans le dernier numéro du "College Mathematics Journal" de la MAA (j'ai un peu modifié l'énoncé).

    $I$ et $O$ sont les centres du cercle inscrit et du cercle circonscrit au triangle $ABC$ pour lequel $BC=1,AB=AC=L\neq 1$.
    Pour quelle(s) valeur(s) de $L$ peut-on trouver $P$ sur la droite $AB$ pour lequel $IOP$ soit un triangle équilatéral?

    Bien cordialement. Poulbot120786
  • Ludwig
    Ludwig
    Avec GGB et l'inverseur de Plouffe je trouve $L=\frac{1}{6} \; \left(\sqrt{3 \; \left(2 \; \sqrt{21} + 9 \right)} + 3 \right)$.
    Et le côté du triangle équilatéral est égal à $\frac{1}{10} \; \sqrt{8 \; \sqrt{21} - 2 \; \sqrt{98 \; \sqrt{21} + 447} + 37}.$
  • poulbot
    poulbot
    Bonsoir Ludwig
    Une méthode bien peu orthodoxe mais qui mène à un résultat que je pense correct
    Bien cordialement. Poulbot
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    Morley inscrit mène à l'équation:
    $u^8 + 3u^7v + 4u^6v^2 + 3u^5v^3 + 3u^4v^4 + 3u^3v^5 + 4u^2v^6 + 3uv^7 + v^8=0$
    C'est une équation réciproque en $\dfrac{u}{v}$.
    On résout $y^4 + 3y^3 - 6y - 3 = 0$, puis $x^2 - yx + 1 = 0$ et enfin on a $L=-\dfrac{x}{x^2+1}$, en choisissant la bonne racine chaque fois.
    Ça correspond au résultat de Ludwig, mais j'ai un peu la flemme ce soir.

    Cordialement,

    Rescassol
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