Thalès avec des triangles semblables

J'ai rédigé une preuve du théorème de Thalès uniquement avec des triangles semblables. Il me semble que ce n'est pas une des preuves données habituellement en 4e.

Qu'est-ce que vous en pensez ? Maths Stack Exchange




Let :
+ $\Delta ABC$ is a triangle
+ $0<\beta<1$
+ We put $M$ and $N$ two points such that $AM=\beta AB$ and $AN=\beta AC$

We want to prove that $(MN)$ parallel to $(BC)$ and $MN= \beta BC$. I made a proof using only similar triangles. Is the proof correct ?
+ We draw the unique line parallel to $(AB)$ and lying on $C$. Let $E$ be one point of this line. $E \ne C$
+ $D$ is the intersection of $(MN)$ and $(CE)$

+ $\Delta AMN$ and $\Delta NDC$ are similar. $\widehat{MAN}=\widehat{NDC}$ and $\widehat{AMN}=\widehat{NDC}$ therefore :

+ $ \exists \, 0<\alpha<1 $ such that $AN = \alpha AC$ and $MN= \alpha ND$

+ so $\alpha =\beta$ and $MD= BC$
+ $\Delta AMN$ and $\Delta ABC$ are similar because their sides are proportionnal
+ $\widehat{AMN}= \widehat{ABC}$
+ Finally $(MN)$ is parallel to $(BC)$