Origine de ce problème

Jean-Louis Ayme · April 2021

Bonjour,
un géomètre aurait-il une idée sur l'origine de ce problème

1. ABC un triangle tel que AB < AC,
2. D, E, F les pieds des A, B, C-bissectrices intérieures de ABC,
3. (X) le cercle circonscrit au triangle DEF
4. P, Q, R les seconds points d'intersection de (X) resp. avec (BC), (CA), (AB).

Question : PD = QE + RF.

Sincèrement
Jean-Louis

pappus · April 2021

Mon cher Jean-Louis
Je ne sais pas où tu as été chercher ce problème mais il appartient clairement à la théorie des TGV ou FLTI.
1° Il y a moyen de le formuler en laissant tomber la condition $AB<AC.\qquad$
2° Je pense que cela revient à montrer que le centre aréolaire des correspondances affines:
$$(D,P)\iff (E,Q)\iff (F,R)\qquad
$$ appartient à la conique circonscrite de perspecteur $I$ le centre du cercle inscrit!
A vérifier cependant
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus · April 2021

Bonne Nuit à tous et faites de beaux rêves.
Voici un moyen de formuler la relation de Jean-Louis sans imposer de condition sur les longueurs des côtés du triangle $ABC$.
On prend pour vecteurs unitaires dirigeant les côtés respectivement:
$\dfrac{\overrightarrow{BC}}{BC},\ $ $\dfrac{\overrightarrow{CA}}{CA},\ $ $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{AB}.\qquad$
Alors la relation de Jean-Louis s'écrit:
$$\overline{PD}+\overline{QE}+\overline{RF}=0\qquad$$
Il faut être pointilleux quand on additionne des mesures algébriques provenant de trois droites différentes!!!
Amicalement
[small][/small]appus

Tonm · April 2021

https://math.stackexchange.com/questions/4086866/how-to-prove-that-the-segment-fg-djeh

Bonne journée

Jean-Louis Ayme · April 2021

Merci Tonm pour ce lien...
J'ai résolu ce problème en raisonnant à rebours et en n'hésitant pas à calculer les longueurs en question...

Sincèrement
Jean-Louis

Origine de ce problème

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 42