Origine de ce problème
dans Géométrie
Bonjour,
un géomètre aurait-il une idée sur l'origine de ce problème
1. ABC un triangle tel que AB < AC,
2. D, E, F les pieds des A, B, C-bissectrices intérieures de ABC,
3. (X) le cercle circonscrit au triangle DEF
4. P, Q, R les seconds points d'intersection de (X) resp. avec (BC), (CA), (AB).
Question : PD = QE + RF.
Sincèrement
Jean-Louis
un géomètre aurait-il une idée sur l'origine de ce problème
1. ABC un triangle tel que AB < AC,
2. D, E, F les pieds des A, B, C-bissectrices intérieures de ABC,
3. (X) le cercle circonscrit au triangle DEF
4. P, Q, R les seconds points d'intersection de (X) resp. avec (BC), (CA), (AB).
Question : PD = QE + RF.
Sincèrement
Jean-Louis
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Réponses
Je ne sais pas où tu as été chercher ce problème mais il appartient clairement à la théorie des TGV ou FLTI.
1° Il y a moyen de le formuler en laissant tomber la condition $AB<AC.\qquad$
2° Je pense que cela revient à montrer que le centre aréolaire des correspondances affines:
$$(D,P)\iff (E,Q)\iff (F,R)\qquad
$$ appartient à la conique circonscrite de perspecteur $I$ le centre du cercle inscrit!
A vérifier cependant
Amicalement
[small]p[/small]appus
Voici un moyen de formuler la relation de Jean-Louis sans imposer de condition sur les longueurs des côtés du triangle $ABC$.
On prend pour vecteurs unitaires dirigeant les côtés respectivement:
$\dfrac{\overrightarrow{BC}}{BC},\ $ $\dfrac{\overrightarrow{CA}}{CA},\ $ $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{AB}.\qquad$
Alors la relation de Jean-Louis s'écrit:
$$\overline{PD}+\overline{QE}+\overline{RF}=0\qquad$$
Il faut être pointilleux quand on additionne des mesures algébriques provenant de trois droites différentes!!!
Amicalement
[small][/small]appus
Bonne journée
J'ai résolu ce problème en raisonnant à rebours et en n'hésitant pas à calculer les longueurs en question...
Sincèrement
Jean-Louis