Lieu d'un point de Lemoine

Bonjour,

Avec Morley circonscrit, c'est l'ellipse d'équation:
$3z^2 - (b^2-8bc+c^2)z\overline{z} + 3b^2c^2\overline{z}^2 - 6(b+c)z - 6bc(b+c)\overline{z} + 4(b^2+bc+c^2)=0$
Elle recoupe $(AB)$ en $B_1\left(\dfrac{4a^2b^2 + a^2c^2 + 3b^2c^2 -2s_3(a+3b)}{3b(a^2+c^2) + a(b^2+c^2) - 8s_3}\right)$.
Son centre est $\Omega\left(-\dfrac{6bc(b+c)}{b^2-14bc+c^2}\right)$.
Elle coupe son petit axe aux points solutions de l'équation:
$(b^2-14bc+c^2)z^2 + 12bc(b-c)z - 4bc(b^2+bc+c^2)=0$
Elle coupe son grand axe aux points solutions de l'équation:
$(b^2-14bc+c^2)^2z^2 + 12bc(b+c)(b^2-14bc+c^2)z + 4bc(b^4+c^4-7bc(b^2+c^2)+48b^2c^2)=0$

Cordialement,

Resvassol

Bonjour à tous
Si on veut une solution synthétique, il faut aller la chercher du côté de la géométrie hyperbolique.
J'ai souvent expliqué dans le passé, (en vain, on s'en doute un peu), le lien hyperbolique existant entre les centres isodynamiques $P$ et $P'$ du triangle $ABC\ $, ($P$ comme Poincaré) et son point de Lemoine $K$, ($K$ comme Klein).
Mais qui connait aujourd'hui les centres isodynamiques, le point de Lemoine et cerise sur le gâteau, la géométrie hyperbolique dans un pays où les connaissances en géométrie se limitent volontairement aux axiomes de Thalès et de Pythagore!
Il est plus facile de gagner au Loto!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Yann
Pour moi, géométrie anallagmatique = géométrie circulaire.
Donc c'est bien la géométrie hyperbolique à l'intérieur du cercle circonscrit qui fonctionne ici.
Grosso modo, tu as la géométrie hyperbolique sur l'hémisphère Nord de la Divine Sphère de Riemann.
Si tu projettes un point $M$ de cet hémisphère Nord orthogonalement sur le plan de l'équateur, tu obtiens le point $K$.
Si tu le projettes toujours sur le plan de l'équateur à partir du pôle Sud, tu obtiens le point $P$.
C'est cette correspondance $P\iff K$ qui traduit le rôle de la géométrie hyperbolique dans ce petit exercice.
Techniquement, le lieu des centres isodynamiques $P$ et $P'$ était évident autrefois dans un autre monde, dans un autre siècle, pour qui connaissait les coordonnées angulaires de ces points dans le triangle $ABC$.
Et de toutes façons, je ne suis même pas sûr que le théorème de l'angle inscrit soit encore enseigné aujourd'hui. Alors à quoi bon continuer!
Une fois le lieu des centres isodynamiques $P$ et $P'$ acquis, celui de du point de Lemoine $K$ en résulte immédiatement puisqu'on connait l'application $P\mapsto K$.
Quand on Rescassolise en choisissant pour cercle unité le cercle circonscrit au triangle $ABC$, l'application $P\mapsto K$ s'écrit:
$$z\mapsto \dfrac{2z}{1+\vert z\vert^2}\qquad$$
Donc quand on fait la substitution $z\mapsto \dfrac{2z}{1+\vert z\vert^2}\ $ dans l'équation de l'ellipse trouvée par Rescassol, on devrait tomber sur le produit des équations des deux cercles lieu des centres isodynamiques!
A vérifier cependant car je suis bien trop paresseux pour faire ces calculs!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Rescassol
Sur la figure ci-dessous, tu découvres un triangle $ABC$ et ses deux centres isodynamiques $P$ et $P'$.
J'utilise les angles camemberts car je ne suis pas certain d'être compris en employant des notions angulaires plus élaborées.
Sur ma figure, on a:
$\widehat{BPC}=\widehat{BAC}+60°\qquad$
$\widehat{BP'C}=\widehat{BAC}-60°\qquad$
Ce qui explique que les points $P$ et $P'$ soient situés sur certains arcs de ces cercles rouges.
Quand à l'écriture $P\mapsto K,z\mapsto \dfrac{2z}{1+\vert z\vert^2}$, elle traine trop dans les cours de géométrie hyperbolique pour que je me trompe!
En fait la véritable figure hyperbolique se passe à l'intérieur du cercle circonscrit!
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Petite colle que je pose sans la moindre illusion mais vraiment sans la moindre illusion!
Le point $K$ situé sur l'ellipse bleue de Rescassol est la projection orthogonale d'un unique point $M$ de l'hémisphère Nord de la Divine Sphère de Riemann!
Quel est le lieu de $M$?

Les foyers semblent être à l'intersection du grand axe et du cercle BCO

Bonjour à tous
Pour faire bonne mesure et évoquer une autre géométrie, elle aussi disparue, à savoir la géométrie descriptive, j'ai fait par nostalgie une ébauche, seulement une ébauche, de l'épure de cette intersection de la Divine Sphère de Riemann avec un modeste cylindre elliptique qui devrait guider Rescassol dans la menée de ses calculs!
L'angle des deux arcs de cercles rouges à gauche est égal à l'angle des deux segments rouges à droite.
Je n'ose demander pouquoi!
Personne ne peut plus répondre à cette question aujourd'hui ou seulement quelques uns que nous connaissons bien et qui ne seront pas là éternellement!!
Que vaut cet angle pour l'ellipse de Rescassol?
Qui aurait cru que Yannguyen allait nous entrainer aussi loin avec son minuscule point de Lemoine!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Rescassol de confirmer mes délires hyperboliques!
Passe une bonne nuit et fais de très très beaux rêves!
Je crois que la seule attitude raisonnable aujourd'hui où il ne nous reste plus que les axiomes de Thalès et de Pythagore est d'oublier le point de Lemoine, les centres isodynamiques et tout ce qui les concerne.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Poulbot
La brillante construction des foyers de fm_31 reste valable pour toute conique bitangente!
Amicalement
[small]p[/small]appus