Un point et trois cercles inscrits

Merci ¡! (C'est fort ça).
Le problème initial est dans la même revue n° 2110. Le calcul en général est compliqué (en analytique j'ai arrêté).

Bonjour, merci poulbot. On commence avec un triangle $ABC$ isocèle en $A$ (les triangles particuliers suivraient).
D'abord un truc est de prouver que dans ce cas si un tel point existe alors il est unique.
En fait si on a deux côtés connus du triangle et la valeur du rayon du cercle inscrit on trouve un seul triangle convenable. Edit
Par exemple sur la figure $AB=a=AC$ et $AP=b$ soit $r$ le rayon commun des cercles inscrits à $PAC$ et $PAB$ alors les triangles $PAC$ et $PAB$ sont superposables.
Pour voir cela (il y a une faute de calcul) il suffit d'écrire $$r(a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\theta)})=ab\sin(\theta).
$$ Ceci donne $f(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)}=g(a,b,r)$ et $f$ est croissante bijective.

Donc on va chercher ce point $P$ sur la bissectrice issue de $A$. Il y a une faute dans la formule précédente....

Bonjour, finalement un raisonnement que je peux faire, comme je disais si on note $(ABC)_r$ le rayon inscrit au triangle $ABC$ alors pour démontrer (voir figure) $(ABC)_r<(BEC)_r$ il suffit de considérer $(ABC)_r<(BFC)_r$ tous les triangles sont quelconque par la même façon on aura $(BFC)_r<(BEC)_r$ la preuve est disons faisable facilement par plusieurs méthodes. Une fois on a cette idée et dans la seconde figure on a $A$ un point quelconque en ordonnant par exemple $(AEC)_r\le (ABE)_r\le (ABC)_r$ on bouge $A$ vers $B$ suivant $BA$ en arrêtant dès que $(AEC)_r$ coïncide avec un des deux $(ABE)_r$ ou $(ABC)_r$ disons c'est $(ABE)_r$ mais de cette façon le décalage entre le rayon maximale et le rayon minimale des trois triangles internes diminus et on arrive à une convergence.

L'unicité suis le même truc...
Maintenant on peux chercher le point $P$ sur la bissectrice du triangle isocèle.

Cordialement.