Produit mixte rayon vecteur vitesse constant

jpmjpmjpm
jpmjpmjpm
dans Géométrie
Soit $\alpha: \mathbb R \to \mathbb R^2$ une courbe plane $\mathcal C^1$ paramétrée selon l’abscisse curviligne. On suppose que $$\alpha(s) \times \alpha^\prime(s)$$ est constant.

Peut-on en déduire que la courbe décrit ou bien une droite ou bien un cercle centré sur l'origine ? C'est le cas si l'on suppose $\alpha,\ \mathcal C^2$.

Merci par avance pour votre éclairage !

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $a=(x,y), a’=(x’,y’)$ selon $u,v$ dans le plan.
    $a\times a’=x y’-y x’$ selon $w$ perpendiculaire au plan.

    $x y’-y x’=c$

    $y=a+ b x$ donc $y’=b x’$ donc $x b x’- (a+b x)x’=- a x’=c$ pour $a=0.$ C’est une droite qui passe par l’origine.

    $y=r \cos t, x=r \sin t$ donc $y’=-r \sin t, x’=r \cos t$ donc $-r^2\sin^2 t-r^2\cos^2 t=-r^2 =c$. C’est un cercle de centre origine.
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    On se demande bien à quoi sert le paramétrage par l'abscisse curviligne!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • jpmjpmjpm
    jpmjpmjpm
    @YvesM

    J’avoue ne pas comprendre ta réponse. L’objectif est de montrer que la courbe est ou bien une droite ou bien un cercle. J’ai l’impression que ce que tu fais, c’est de prouver que ce sont bien des solutions. Ma question, c’est de prouver que ce sont les seules.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je donne des indications.

    Tu peux travailler un peu, même le dimanche ?

    Quand tu arrives à $x y’-y x’=c$ puis cherche les solutions en polaires : $x=r(t) \cos a(t), y(t)=r(t) \sin a (t).$
  • jpmjpmjpm
    jpmjpmjpm
    @YvesM

    Merci de m'avoir sorti de ma torpeur du dimanche... En travaillant en coordonnées polaires, j'arrive effectivement à montrer en utilisant le paramétrage par l'abscisse curviligne que la courbe est en fait $\mathcal C^2$ (sauf en des points particuliers) et donc à me ramener au cas que je sais traiter par morceaux.
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Je reste sur ma faim!
    Je n'ai pas vu le début du commencement de la moindre preuve!
    La condition de jpmjpmjpm s'écrit:
    $$x\dfrac{dy}{ds}-y\dfrac{dx}{ds}=k\qquad$$
    Ensuite quoi de quoi?
    Cela ne m'étonnerait pas qu'on tombe sur une équation de Clairaut!
    C'est un simple exercice d'oral pour rentrer à l'institut pomologique de Rennes!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus
    pappus
    Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves
    C'est pourtant simple.
    L'équation précédente s'écrit:
    $$y=xy'\pm k\sqrt{1+y'^2}\qquad$$
    C'est bien une équation de Clairaut!
    Mais sont-elles encore enseignées?
    Rien n'est moins sûr en cette époque analphabète!
    D'autant plus que cette théorie des équations de Clairaut exige la connaissance de la théorie des enveloppes de droites.
    Alors pour le coup, c'est beaucoup trop demander à une époque où la théorie des droites tend asymptotiquement à se limiter à celle de la droite réelle!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Finalement on applique la théorie des équations de Clairaut et qu'est-ce qu'on trouve?
    Pas n'importe quoi effectivement
    On obtient:
    1° Le cercle de rayon $\vert k\vert.\qquad$
    C'est l'intégrale singulière.
    2° Les tangentes à ce cercle: c'est l'intégrale générale
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    A noter que si on a compris l'énoncé de ce minuscule exercice, on sait que la constante $k\ $ a les dimensions d'une longueur!
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