Rapport d'aire constant

pappus
pappus
dans Géométrie
Bonjour à tous
J'ai déjà dû poser cet exercice dans le passé très probablement sans beaucoup de succès mais tant pis je le repose, ne serait-ce que pour savoir s'il va toujours susciter le même intérêt!
C'est un exercice de géométrie affine.
On est donc débarrassé de l'axiome de Pythagore.
Un axiome de moins à surveiller, c'est quand même un gros gros soulagement en ces temps moyenâgeux!
Quelles sont les données?
1° Trois droites parallèles $L_1,\ $ $L_2,\ $ $L_3.\qquad$
2° Un point $O\ $ et une droite variable $\delta\ $ passant par $O.\qquad$
3° Un réel $k.\qquad$
Que cherche-t-on?
On cherche les triplets de points $(A_1, A_2,A_3)\ $ tels que:
a) $A_1\not\in L_1,\ $ $A_2\not\in L_2,\ $ $A_3\not\in L_3.\qquad $
b) On projette parallèlement à la droite $\delta$ respectivement $A_1\ $ en $M_1\ $ sur la droite $L_1,\ $ $A_2\ $ en $M_2\ $ sur la droite $L_2,\ $ $A_3\ $ en $M_3\ $ sur la droite $L_3.\qquad $.
Alors quelle que soit la droite $\delta\ $ passant par $O,\ $ on a:
$$S(M_1,M_2,M_3)=k.S(A_1,A_2,A_3)\qquad$$
La notation $S(\bullet,\bullet,\bullet)\ $ est celle de l'aire algébrique.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
On se doute un peu que ce n'est pas un exercice pour des collégiens de Troisième ni même pour des lycéens de Terminales.
Mais en principe, il pourrait être posé à des capésiens ou à des agrégatifs même si cette possibilité semble ridicule, heureusement pour eux d'ailleurs!121020

Réponses

  • Ludwig
    Ludwig
    Bonjour,

    Pour l'instant, en faisant joujou avec geogebra, j'obtiens les points $M_1$, $M_2$ et $M_3$ et la direction de $\delta\ $ à partir de $ABC$ et de $k$.
    Mais c'est l'heure de ma sieste. À plus tard.
  • pappus
    pappus
    Merci Ludwig
    Attention!
    Les points $A_i$ une fois choisis, l’égalité doit être vérifiée pour toute direction $\delta$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Pappus
    J'ai du rater quelque chose.
    Les points $F_{1}=A_{2}A_{3}\cap M_{2}M_{3},F_{2}=A_{3}A_{1}\cap M_{3}M_{1},F_{3}=A_{1}A_{2}\cap M_{1}M_{2}$ sont fixes et alignés sur une droite $L$.
    Si $L$ coupe $L_{1},L_{2},L_{3}$ respectivement en $N_{1},N_{2},N_{3}$, les droites $A_{1}N_{1},A_{2}N_{2},A_{3}N_{3}$ ont la même direction et $S\left( N_{1},N_{2},N_{3}\right) =0$. Etrange!!
    Amicalement. Poulbot121024
  • Ludwig
    Ludwig
    Sauf si $L$ est parallèle aux droites $L_i$, ce qui est bien le cas non ?
    L'égalité doit être vérifiée pour toute direction $\delta$ ok, mais si je ne me trompe deux directions suffisent pour déterminer complètement $A_1$, $A_2$ et $A_3$.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Poulbot
    C'est déjà bien d'avoir vu l'existence de ces intersections mais as tu été au bout de ton raisonnement?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus121026
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Et puis il y a les cas où ces fameux points de Poulbot $\Omega_i\ $ n'existent pas!
    Tout le charme de la géométrie affine!!!!!
    Bref y a du pain sur la planche!!!!!!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus121030
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Pappus et merci
    Effectivement, comme le dit Ludwig, il faut que $L$ soit parallèle aux droites $L_{i}$ et ....
    Je n'ai pas le temps de regarder cela de plus près ce soir mais il me semble qu'on peut prendre $A_{1}$ quelconque. Il existe alors $2$ droites $l_{2}$ et $l_{3}$ parallèles aux $L_{i}$ (et dépendant de $k$) telles que ta propriété soit vérifiée si et seulement si $A_{2}\in l_{2}$ et $A_{3}\in l_{3}$. Il ne reste plus qu'à préciser $l_{2}$ et $l_{3}$.
    Amicalement. Poulbot
  • PGL@R92
    PGL@R92
    Bonjour
    La condition est que l'axe de perspective L soit parallèle aux L1,L2,L3
    Alors si $F_1 = A_1M_1 \cap L$, $F_2 = A_2M_2 \cap L$, $F_3 = A_3M_3 \cap L$,
    on a $\dfrac{F_1M_1}{F_1A_1} = \dfrac{F_2M_2}{F_2A_2} = \dfrac{F_3M_3}{F_3A_3} = k$ = rapport des aires,
    puisque tout est en parspective.
    Amicalement
    PL
  • Ludwig
    Ludwig
    Poulbot a raison : on prend un point $A_1$ n'importe où et on construit deux droites $l_2$ et $l_3$ parallèles aux $L_i$ telles que la distance entre $A_1$ et $l_2$ soit égale à $\frac{L_1L_2}{k}$, celle entre $A_1$ et $l_3$ à $\frac{L_1L_3}{k}$ (ces deux droites étant du même côté de $A_1$).
    Ensuite n'importe quels points $A_2$ sur $l_2$, $A_3$ sur $l_3$ feront l'affaire.
  • Ludwig
    Ludwig
    Du coup vaut mieux dire que les $A_i$ se baladent sur des droites $l_i$ parallèles aux $L_i$ et telles que $L_iL_j=kl_il_j$.
  • poulbot
    poulbot
    Bonsoir Ludwig
    C'est exactement cela. Pour conserver le caractère affine du problème, il suffit de prendre une droite $D$ non parallèle aux $L_{i}$ et, si $P_{i}=L_{i}\cap D,p_{i}=l_{i}\cap D$, on doit avoir $\dfrac{\overline{p_{i}p_{j}}}{\overline{P_{i}P_{j}}}=\dfrac{1}{k}$ pour $i\neq j$.
    Cela équivaut évidemment à $\dfrac{\overline{p_{1}p_{2}}}{\overline{P_{1}P_{2}}}=\dfrac{\overline{p_{1}p_{3}}}{\overline{P_{1}P_{3}}}=\dfrac{1}{k}$.
    Bien cordialement. Poulbot
  • pappus
    pappus
    Merci à tous
    Mais vous n'avez pas tout à fait répondu à mes questions.
    C'est une construction que je demande!
    Sur la dernière figure que j'ai proposée, celle où les points de Poulbot n'existent pas, on est dans le cas $k=1$.
    J'ai construit la figure ci-dessous dans le cas $k=-1$.
    Comment ai-je fait?
    Et comment faire dans le cas général?
    Traiter par exemple le cas $k=2$ pour fixer les idées!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus121072
  • PGL@R92
    PGL@R92
    Bonjour Pappus,

    Il fallait le dire que tu voulais une construction!

    Comme il s'agit d'une homothétie "oblique", on trace $L$ parallèle à $L_1$, puis les droites $L'_x$ homothétiques des $L_x$ dans le rapport k par rapport à n'importe quel point de $L$ (si k est positif, laisser de la place entre $L$ et la $L_x$ la plus proche).

    On place $A_x$ sur $L'_x$ et c'est fini.

    Est-ce que quelqu'un peut regarder mon problème "Enveloppe" qui ne progresse pas?

    Merci
    PL
  • poulbot
    poulbot
    Bonjour PGL@R92
    Juste un tout petit détail : pour satisfaire Pappus qui veut que $S\left( M_{1},M_{2},M_{3}\right) =k\cdot S\left( A_{1},A_{2},A_{3}\right) $, il faut que l'homothétie envoyant $L_{j}$ sur $L_{j}^{\prime }$ soit de rapport $\dfrac{1}{k}$.
    Bien cordialement. Poulbot
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