Différentielle et identification
Bonjour,
je considère deux variétés différentiables $M$ et $N$ ainsi qu'une application différentiable $\varphi\colon M\to N$. La différentielle au point $x$ de $\varphi$ est l'application linéaire notée $\mathrm{d}_x\varphi\colon T_xM\to T_{\varphi(x)}N$.
En voyant les vecteurs tangents comme des dérivations la définition de la différentielle est donnée par
$$
\mathrm{d}_x\varphi(X)(f) = X(f\circ\varphi),\qquad \forall f\in C^\infty(N),\quad \forall X\in T_xM\;.
$$ En prenant un exemple simple, $M=\mathbb{R}^2$ dont les coordonnées seront notées $x_1$ et $x_2$ et $N=\mathbb{R}$ dont la coordonnée sera notée $y$, j'arrive à retrouver la définition classique de la différentielle. Pour cela, je pose $x=(x_1,x_2)$, $\varphi\colon(x_1,x_2)\mapsto\varphi(x_1,x_2)$ et je note $X = X_1\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_{(x_1,x_2)}+X_2\left.\frac{\partial}{\partial x_2}\right|_{(x_1,x_2)}$ un vecteur tangent de $T_xM$. Ainsi, par simple dérivation d'une fonction composée,
$$
X(f\circ\varphi) = \Big(X_1\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_{(x_1,x_2)}+X_2\left.\frac{\partial}{\partial x_2}\right|_{(x_1,x_2)}\Big) (f\circ\varphi) = \Big(X_1\left.\frac{\partial \varphi}{\partial x_1}\right|_{(x_1,x_2)}+X_2\left.\frac{\partial \varphi}{\partial x_2}\right|_{(x_1,x_2)}\Big)\cdot \left.\frac{\partial }{\partial y}\right|_{\varphi(x_1,x_2)}f,
$$ et donc l'application $\mathrm{d}_x\varphi$ transforme bien une dérivation $X$ (c'est-à-dire un vecteur tangent) en une autre dérivation (un autre vecteur tangent à $N$ au point $\varphi(x_1,x_2)$) : $X\varphi\left.\frac{\partial }{\partial y}\right|_{\varphi(x_1,x_2)}$.
Le drame arrive ici, certains auteurs écrivent froidement $\mathrm{d}_x\varphi(X) = X\varphi$ et parlent de $\mathrm{d}_x\varphi$ comme d'un covecteur qui à $X$ associe le nombre $X\varphi$. Il n'est plus mention de dérivation ni de fonction $f$ à dériver.
Ma question est la suivante, est-ce juste une identification entre la dérivation $X\varphi\left.\frac{\partial }{\partial y}\right|_{\varphi(x_1,x_2)}$ et le nombre $X\varphi$ ? Où prennent-ils sans le dire explicitement le résultat de la dérivation sur la fonction identité $f=\mathrm{Id}_\mathbb{R}$ ?
Cela me fait penser au cas d'une fonction $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ où l'on confond parfois la valeur de sa dérivée en un point $x_0$, $f'(x_0)$ avec l'application linéaire $h\mapsto f'(x_0)h$ mais la lourdeur du formalisme fait que je n'arrive pas à en avoir le cœur net.
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
je considère deux variétés différentiables $M$ et $N$ ainsi qu'une application différentiable $\varphi\colon M\to N$. La différentielle au point $x$ de $\varphi$ est l'application linéaire notée $\mathrm{d}_x\varphi\colon T_xM\to T_{\varphi(x)}N$.
En voyant les vecteurs tangents comme des dérivations la définition de la différentielle est donnée par
$$
\mathrm{d}_x\varphi(X)(f) = X(f\circ\varphi),\qquad \forall f\in C^\infty(N),\quad \forall X\in T_xM\;.
$$ En prenant un exemple simple, $M=\mathbb{R}^2$ dont les coordonnées seront notées $x_1$ et $x_2$ et $N=\mathbb{R}$ dont la coordonnée sera notée $y$, j'arrive à retrouver la définition classique de la différentielle. Pour cela, je pose $x=(x_1,x_2)$, $\varphi\colon(x_1,x_2)\mapsto\varphi(x_1,x_2)$ et je note $X = X_1\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_{(x_1,x_2)}+X_2\left.\frac{\partial}{\partial x_2}\right|_{(x_1,x_2)}$ un vecteur tangent de $T_xM$. Ainsi, par simple dérivation d'une fonction composée,
$$
X(f\circ\varphi) = \Big(X_1\left.\frac{\partial}{\partial x_1}\right|_{(x_1,x_2)}+X_2\left.\frac{\partial}{\partial x_2}\right|_{(x_1,x_2)}\Big) (f\circ\varphi) = \Big(X_1\left.\frac{\partial \varphi}{\partial x_1}\right|_{(x_1,x_2)}+X_2\left.\frac{\partial \varphi}{\partial x_2}\right|_{(x_1,x_2)}\Big)\cdot \left.\frac{\partial }{\partial y}\right|_{\varphi(x_1,x_2)}f,
$$ et donc l'application $\mathrm{d}_x\varphi$ transforme bien une dérivation $X$ (c'est-à-dire un vecteur tangent) en une autre dérivation (un autre vecteur tangent à $N$ au point $\varphi(x_1,x_2)$) : $X\varphi\left.\frac{\partial }{\partial y}\right|_{\varphi(x_1,x_2)}$.
Le drame arrive ici, certains auteurs écrivent froidement $\mathrm{d}_x\varphi(X) = X\varphi$ et parlent de $\mathrm{d}_x\varphi$ comme d'un covecteur qui à $X$ associe le nombre $X\varphi$. Il n'est plus mention de dérivation ni de fonction $f$ à dériver.
Ma question est la suivante, est-ce juste une identification entre la dérivation $X\varphi\left.\frac{\partial }{\partial y}\right|_{\varphi(x_1,x_2)}$ et le nombre $X\varphi$ ? Où prennent-ils sans le dire explicitement le résultat de la dérivation sur la fonction identité $f=\mathrm{Id}_\mathbb{R}$ ?
Cela me fait penser au cas d'une fonction $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ où l'on confond parfois la valeur de sa dérivée en un point $x_0$, $f'(x_0)$ avec l'application linéaire $h\mapsto f'(x_0)h$ mais la lourdeur du formalisme fait que je n'arrive pas à en avoir le cœur net.
Je vous remercie par avance pour vos lumières.
Cordialement,
Mister Da
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