Droites orthogonales / perpendiculaires

KJC
KJC
dans Géométrie
Bonjour,

Je cite deux définitions de mon livre.

Perpendicularité : "deux droites sont perpendiculaires si elles sont coplanaires et orthogonales dans le plan qu'elles définissent".

Orthogonalité : "deux droites sont orthogonales si leurs parallèles passant par un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires".

À-t-on défini quelque chose ? Une démonstration en aval du cours qui ferait intervenir l'une ou l'autre de ces définitions peut-elle être recevable ?

Merci.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Je ne vois pas le problème, sauf dans l'utilisation du mot "orthogonales" dans la première définition, qui devrait être
    "deux droites sont perpendiculaires si elles sont coplanaires et perpendiculaires dans ce plan"
    L'un des axiomes (rarement explicité) étant que la géométrie plane s'applique aux objets de l'espace qui sont dans un même plan.

    "À-t-on définit quelque chose ?" Oui, les mots "orthogonal" et "perpendiculaire" à propos des droites de l'espace. Donc pour l'instant, uniquement du vocabulaire.

    Cordialement.
  • KJC
    KJC
    Merci gerard

    Ce qui me dérange, c'est le fait que l'on utilise le mot "orthogonal" dans la définition de la perpendicularité, et que le mot "perpendiculaire" intervienne lui-même dans la définition de l'orthogonalité : j'ai le sentiment d'une boucle sans fin où rien n'est définit puisque pour comprendre l'une des deux définitions on doit se reporter à l'autre définition, qui elle-même renvoie à la définition initiale, et ainsi de suite...

    Si on remplace le mot "orthogonal" par "perpendiculaire" dans la première définition, pour moi on ne définit rien : on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles sont coplanaires et perpendiculaires. On perd la boucle infinie, mais on a une des deux définitions qui ne définit rien et par conséquent l'autre définition, faisant référence à la première, ne définit rien non plus.

    Quelque chose m'échappe ?
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    C'est amusant, on pourrait remplacer les mots "perpendiculaires" et "orthogonales" par "sécantes" et "non parallèles", ce qui donnerait deux définitions tout autant valides:
    "Deux droites sont sécantes si elles sont coplanaires et non parallèles dans le plan qu'elles définissent".
    "Deux droites sont non parallèles si leurs parallèles passant par un point quelconque de l'espace sont sécantes".


    Cordialement,

    Rescassol
  • brian
    brian
    KJC,

    gerard0 part du principe que si deux droites sont coplanaires, on a déjà défini, en vertu de l'axiome qu'il a rappelé, ce que signifie leur perpendicularité. Et il explique que les définitions que tu as postées peuvent facilement être corrigées pour définir l'orthogonalité et la perpendicularité dans l'espace à partir de la définition de la perpendicularité dans un plan.
  • KJC
    KJC
    Merci pour vos réponses. J'avais (je pense) saisi ce que gerard voulait dire, mais j'ai insisté car l'auteur ne parle pas de perpendicularité dans le plan avant d'énoncer la définition de mon premier message. On pourra donc supposer que la définition de la perpendicularité de deux droites dans le plan est un pré-requis implicite à la lecture de ce passage du cours.

    Mais du coup, comment définir la perpendicularité le plus simplement possible dans le plan, sans faire intervenir le produit scalaire ? J'ai "sécantes, et les quatres angles qu'elles forment sont égaux" mais du coup il faut définir "sécantes" et "angles" :)
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour KJC.

    J'ai répondu en supposant qu'il s'agissait d'une définition dans un cours de géométrie dans l'espace supposant connue la géométrie plane (tu écris "mon livre", comme je ne le connais pas, je ne sais pas ce qu'il fait).

    Clairement, il y a un problème de circularité dans tes définitions, je t'ai simplement proposé une méthode pour en sortir.
    Il y en a d'autres, par exemple de dire que deux éléments (droites ou plans) sont orthogonaux si leurs directions sont orthogonales. Et que s'ils ont une intersection, on les dit perpendiculaires. Ainsi deux plans seront dits perpendiculaires, une droite sera dite perpendiculaire à un plan, dans tous les cas. Mais que deux droites ne seront dites perpendiculaires que si elles se coupent, donc sont coplanaires.

    Comme c'est seulement du vocabulaire, ce n'est pas très important. Ce qui compte, c'est les axiomes et théorèmes associés.

    Quant à la perpendicularité dans le plan, c'est selon les axiomes pris pour base soit une notion de base, soit une conséquence d'autre chose (produit scalaire, par exemple). En général, c'est supposé connu quand on fait de la géométrie dans l'espace.

    Si tu veux approfondir, il va falloir nous donner tout ce qu'il y a dans ton livre.

    Cordialement.
  • KJC
    KJC
    Merci pour ces précisions gerard. Ce fil répond entièrement à mes interrogations initiales (et plus encore). À mes yeux c'est le principal car je peux maintenant continuer mon exploration en toute sérénité. Je reviendrai vous questionner lors du prochain blocage. Cordialement.
  • soland
    soland
    Une autre voie.

    DEFINITIONS
    Les droites $D(ab)$ et $D(cd)$ sont orthogonales si
    $|ac|^2+|ad|^2=|bc|^2+|bd|^2$
    Elles sont perpendiculaires si, en plus, elles ont un point commun.

    NB. Si $a=c$ alors ...
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