Coniques

Cher pappus,
Parler de la sorte de coniques de nos jours, avec une telle figure ? Tu as 28 jours de retard !
(Blague à part, c'est un très joli problème. Je regrette de ne rien avoir à en dire.)
Amicalement.

Si je ne me trompe pas il s'agit du "poisson à nageoires pointues".
Et alors c'est bien une quartique rationnelle, comme tous les poissons.
Voir en bas de cette page mathcurve.

Oui, j'ai pris $f=1$, superposé l'image du poisson à nageoires pointues à la courbe, et ça colle.
Puis j'ai vérifié que la courbe peut se voir comme le lieu des points équidistants d'une certaine ellipse et de son foyer.

Bonsoir,

Les points de rebroussement de la quartique rationnelle sont $(-f/4, \pm f\sqrt2/4)$.

Bonsoir Pappus,

Il me semble plus joli de placer l'origine du repère au point double de la quartique, d'ailleurs c'est aussi le centre de l'ellipse que tu as décrite.

Ou alors, pour la même courbe : $x=\frac{1}{2}\cos(t)\big(\sqrt{2}-\cos(t)\big)$ et $y= \dfrac{-\sqrt{2}\sin(2t)}{4}.$

Re-bonjour
Bien entendu, on peut toujours paramétrer ce fish comme antipodaire par rapport à $F$ de l'ellipse de foyers $F$ et $H$ et d'excentricité $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (Attention, cette ellipse n'est pas celle représentée ICI par Pappus et invoquée par Ludwig)
Amicalement. Poulbot

Recette de cuisine pour fabriquer une paramétrisation rationnelle d'une courbe algébrique qui veut bien en avoir une :
Une courbe lisse de degré $d$ est de genre $\dfrac{(d-1)(d-2)}{2}$. Un point double (ou un cusp) fait baisser le genre de 1. Une courbe irréductible $C$ de degré $d$ qui a $\dfrac{(d-1)(d-2)}{2}$ points doubles est de genre 0, c.-à-d. du genre à avoir une paramétrisation rationnelle.
Choisissons alors $d-3$ points supplémentaires sur la courbe $C$. Ça nous fait un total de $\dfrac{(d-1)(d-2)}{2} +d-3 = \dfrac{d(d-1)}{2} -2$ points. L'équation d'une courbe de degré $d-2$ a $\dfrac{d(d-1)}{2}$ coefficients, donc imposer de passer par les $\dfrac{d(d-1)}{2} -2$ points donne un faisceau linéaire de courbes de degré $d-2$. Une courbe de ce faisceau a, d'après Bézout, $d(d-2)$ points d'intersection avec $C$, comptés avec multiplicité. On en connaît déjà $(d-1)(d-2)$ (les points doubles de $C$, avec multiplicité d'intersection 2) plus $d-3$ (les autres points choisis sur $C$, ce qui fait au total $d(d-2)-1$ points fixés. Il ne reste plus de libre qu'un seul point d'intersection avec $C$, qui dépend donc rationnellement du paramètre du faisceau. Voila une paramétrisation rationnelle de $C$.

Ici on a $d=4$, une quartique avec un point double et deux cusps, en choisissant un autre point sur la quartique on obtient 4 points qui déterminent un faisceau linéaire de coniques, chaque conique du faisceau a 7 points fixes d'intersection avec la quartique (les points singuliers comptés deux fois et le points choisis), il ne reste donc qu'un seul point d'intersection qui se balade sur la quartique en dépendant rationnellement du paramètre du faisceau.
Pappus choisit le point supplémentaire confondu avec le point double de la quartique, ce qui revient à imposer la tangence à une des branches de la quartique en ce point. Dommage, ça rompt la symétrie. J'ai fait un choix plus symétrique pour le quatrième point : vous pouvez jouer avec l'applet GeoGebra ici, en bougeant le point M sur la quartique.

Si le faisceau linéaire de courbes de degré $d-2$ est défini sur $\mathbb R$, alors oui, forcément, la paramétrisation rationnelle est réelle (le point d'intersection qui reste tout seul ne peut pas s'empêcher d'être réel). Et il ne peut y avoir qu'un nombre fini de points réels singuliers de $C$ qui échappent à l'image de la droite projective réelle.

L'ensemble des points singuliers de $C$ est défini sur $\mathbb R$ puisque $C$ est réelle. Pour avoir un faisceau linéaire défini sur $\mathbb R$, il convient de choisir l'ensemble des $d-3$ points supplémentaires défini sur $\mathbb R$. Par exemple si $d$ est pair et que $C$ n'a pas de point réel, c'est coton !

Bien sûr que si. Mais tu remarques que la paire de points cycliques est définie sur $\R$, par l'idéal homogène $(z,x^2+y^2)$.

Ouais, et si $(a,b)$ est le point choisi sur ta quartique, le faisceau est engendré par $x^2+y^2-ax-by=0$ et $bx-ay=0$ (en affine) : un cercle et un diamètre.

Explicite, dis-tu ? Peux-tu essayer sur le poisson ? Pour commencer, il n'est pas très lisse ...

Bonjour,

Petit veinard, comment as tu fait pour avoir Magma ?

Cordialement,

Rescassol

Edit: Je m'adressais à Gai Requin.

Bon 1er mai, journée internationale des travailleurs, Pappus !

Il semble que tu n'as pas bien bien compris de quelle hyperbole je parle. C'est celle-ci qui correspond à $ t=\infty$ (pas tout à fait sur le dessin, mais pas loin) :

@Rescassol : Hélas non, j'utilise toujours magma en ligne.

@GBZM : Je ne sais pas faire mais magma oui !

> k:=RationalField();
> K<f> := FunctionField(k);
> P2<x,y,z> := ProjectivePlane(K);
> C := Curve(P2, (2*x^2+y^2)^2 + f*((6*x*z+f*z^2)*y^2 - (4*x*z+f*z^2)*x^2));
> assert Genus(C) eq 0 ;
> C1<X,Y,Z>,phi := Conic(C);
> C1;
Conic over Univariate rational function field over Rational Field defined by
X^2 - 1/8*f^2*Y^2 - 10*X*Z + 17*Z^2

Je ne recopie pas l'isomorphisme $\phi:\mathcal C\to\mathcal{C}_1$ dont l'inverse est également calculé par magma.