Coniques
Bonjour à tous et merci de participer à la vie de ce forum
Je sais bien que les questions que je pose sont souvent d'un niveau difficile mais on ne peut se contenter de questions trop triviales sinon plus personne ne viendra nous rendre visite.
Je conseille à ceux qui veulent vraiment progresser par eux mêmes (car il ne faut plus compter sur notre système d'enseignement) de se procurer les Lebossé-Hémery des classes de Seconde , de Première et de Mathématiques .
Il faut les lire et essayer de faire les exercices qui y sont proposés.
A un stade supérieur, il faut aussi se procurer des ouvrages d'algèbre et de géométrie préparant à l'agrégation et je ne peux que conseiller les livres de Jean Denis Eiden.
(Merci Ludwig, il fallait que je me trompe dans les prénoms un jour ou l'autre, j'espère que j_j ne m'en voudra pas!).
Ceux de Monsieur Goblot sont eux aussi excellents.
Je propose un nouvel exercice sur les coniques.
Je pourrais le détailler mais je n'en ferais rien pour laisser le plus de liberté possible à votre imagination!
Etudier la famille de coniques dont on connait un foyer $F$ et la directrice $D$ relative à l'autre foyer.
Curieusement mon logiciel n'est pas arrivé à tracer leur enveloppe, d'habitude il le fait bien.
Mais je suis arrivé à la suggérer en "traçant" les coniques de la famille!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je sais bien que les questions que je pose sont souvent d'un niveau difficile mais on ne peut se contenter de questions trop triviales sinon plus personne ne viendra nous rendre visite.
Je conseille à ceux qui veulent vraiment progresser par eux mêmes (car il ne faut plus compter sur notre système d'enseignement) de se procurer les Lebossé-Hémery des classes de Seconde , de Première et de Mathématiques .
Il faut les lire et essayer de faire les exercices qui y sont proposés.
A un stade supérieur, il faut aussi se procurer des ouvrages d'algèbre et de géométrie préparant à l'agrégation et je ne peux que conseiller les livres de Jean Denis Eiden.
(Merci Ludwig, il fallait que je me trompe dans les prénoms un jour ou l'autre, j'espère que j_j ne m'en voudra pas!).
Ceux de Monsieur Goblot sont eux aussi excellents.
Je propose un nouvel exercice sur les coniques.
Je pourrais le détailler mais je n'en ferais rien pour laisser le plus de liberté possible à votre imagination!
Etudier la famille de coniques dont on connait un foyer $F$ et la directrice $D$ relative à l'autre foyer.
Curieusement mon logiciel n'est pas arrivé à tracer leur enveloppe, d'habitude il le fait bien.
Mais je suis arrivé à la suggérer en "traçant" les coniques de la famille!
Amicalement
[small]p[/small]appus
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Réponses
Parler de la sorte de coniques de nos jours, avec une telle figure ? Tu as 28 jours de retard !
(Blague à part, c'est un très joli problème. Je regrette de ne rien avoir à en dire.)
Amicalement.
Je sais que tu as le niveau pour écrire l'équation générale de ces coniques en prenant pour paramètre l'abscisse de leurs centres!
Ce n'est vraiment pas très difficile!
C'est ce qui se passe après qui est intéressant!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
C'est vrai que cette enveloppe ressemble vaguement à un poisson.
Quand j'étais plus jeune, j'avais ce symbole sur les manches!
J'aurais pu tomber sur cet exercice à l'oral de l'X ou des Mines!
Ci-dessous une petite aide tirée évidemment du Lebossé-Hémery
Les éternels râleurs diront: on ne sait pas ce qu'est une polaire, on ne sait pas ce qu'est un cercle principal, on ne connait un cercle que lorsqu'il est trigonométrique!
Je leur rétorque: c'est le moment ou jamais de lire le Lebossé-Hémery!
"C'est ce qui se passe après qui est intéressant!"
Par exemple, exhiber un paramétrage rationnel de ta quartique aquatique???
Amicalement. Poulbot
Heureusement que je ne suis pas tombé sur cet exercice à l'oral des grands concours!
Sans doute aurais je pu écrire cette fameuse équation et encore je n'en suis pas sûr mais j'aurais été bien incapable d'aller plus loin devant la rébarbativité des calculs.
Heureusement nous disposons aujourd'hui de logiciels de calcul formel qui nous permettent de ne pas trop nous fatiguer.
Je sais que tu disposes du même logiciel de géométrie dynamique que moi et je ne comprends pas pourquoi il est incapable de tracer cette maudite enveloppe.
J'ai même demandé au logiciel de tracer l'intersection de deux coniques voisines de la famille et nada, nothing, il ne m'a rien tracé )du tout. C'est quand même un peu fort de café!!
As-tu une quelconque explication de ce décevant phénomène?
Amicalement
[small]p[/small]appus
"As-tu une quelconque explication de ce décevant phénomène?"
Absolument pas. Il faut dire que jusqu'à présent, je n'avais fait tracer à Cabri que des enveloppes de familles de droites ou de cercles.
Les calculs nécessaires pour écrire l'équation de ton enveloppe avec, par exemple la directrice connue $D$ comme axe des ordonnées et $F=\left( f,0\right) $ comme foyer connu sont un peu pénibles mais tout à fait faisables à la main.
J'ai trouvé
$\left( 2x^{2}+y^{2}\right) ^{2}+f\left( \left( 6x+f\right) y^{2}-\left( 4x+f\right) x^{2}\right) =0$
Amicalement. Poulbot
Voici une nouvelle figure où j'ai pu faire apparaître l'enveloppe après avoir été contraint et forcé de calculer l'abscisse des points de contact.
En fait ce n'est pas très difficile.
Obtient on ainsi une paramétrisation rationnelle de l'enveloppe, cela reste à voir mais puisque Poulbot le dit, j'applique son Axiome beaucoup plus important que ceux de Thalès et de Pythagore!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Il reste à faire ces épouvantables calculs mais qui les fera, certainement pas Poulbot ou moi!
J'ai pris un autre système d'axes:
Le foyer $F$ connu comme origine $(0,0)$ et la directrice relative à l'autre foyer ayant pour équation $x=d$
Le centre de la conique a pour coordonnées $(c,0)$ où $c$ nous servira de paramètre comme je l'ai dit.
L'appel au Lebossé-Hémery et à sa détestable polaire, (qu'est-ce que ça peut bien être?!!!), donne pour le grand axe $a$ la relation :
$$a^2=c(d-c).
$$ Ce qui implique que le centre $O$ reste confiné, tout comme nous le pauvre, sur le segment $FH$.
Le carré de l''excentricité vaut:
$$e^2=\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac c{d-c}.
$$ La directrice relative au foyer $F$ a pour équation :
$$x=2c-d,\qquad
$$ pour des raisons de symétrie par rapport au centre $O(c,0)\qquad$
L'équation de la conique est donc :
$$x^2+y^2=e^2(x-2c+d)^2=\dfrac c{d-c}(x-2c+d)^2,\qquad
$$ ou encore :
$$c(x-2c+d)^2+(c-d)(x^2+y^2)=0.
$$ Amicalement
[small]p[/small]appus
Et alors c'est bien une quartique rationnelle, comme tous les poissons.
Voir en bas de cette page mathcurve.
Pour moi $f$ n'est pas un paramètre variable mais une donnée fixe du problème et j'ai donné l'équation de l'enveloppe des coniques et pas des coniques.
Tu devrais maintenant obtenir l'équation de l'enveloppe et essayer de la paramétrer.
Remarque : pour avoir un poisson avec la tête à gauche comme sur la figure de Pappus , il faut supposer $f<0$
Bien cordialement. Poulbot
Puis j'ai vérifié que la courbe peut se voir comme le lieu des points équidistants d'une certaine ellipse et de son foyer.
L'aspect de l'enveloppe est anecdotique.
Ce qui est important, ce sont d'une part les calculs qu'il a fallu mener pour la déterminer et d'autre part l'utilisation adéquate du logiciel pour la tracer.
Je suis un peu déçu qu'à part Poulbot qui est définitivement hors concours, personne n'ait voulu s'investir vraiment dans ce problème.
Les calculs ne sont pas si difficiles que cela et c'est à la mise en équations qu'autrefois l'examinateur jugeait le candidat.
Aujourd'hui si on ne propose pas un schéma des calculs à faire, plus personne ne moufte!!
On a vu aussi que j'ai eu des difficultés à tracer l'enveloppe avec le logiciel.
Il est intéressant de comprendre comment j'ai fait pour me tirer de cette difficulté!
Je n'ai pour le moment pas réussi à faire le lien entre cette enveloppe et sa génération proposée dans mathcurve.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tu te contentes de vérifier avec ton logiciel et tu es très content.
On ne sait même pas quelle ellipse, tu utilises exactement.
Ce n'est pas comme cela qu'on fait de la géométrie.
L'ellipse en question est de centre $H$, de foyer $F$, de sommets $P$, $Q$, $R$, $S$.
$$HP=HQ=HF\qquad\\
HR=HS=HF\sqrt 2 \quad
$$ Autrement dit son excentricité est $\dfrac{\sqrt 2}2$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS. Donc cette enveloppe est bien une antipodaire d'ellipse et non le poisson du début de l'article de mathcurve.
C'est quand même bien de l'avoir remarqué de la part de Ludwig !
Je suis intéressé par le conseil de pappus :
"Je conseille à ceux qui veulent vraiment progresser par eux mêmes (car il ne faut plus compter sur notre système d'enseignement) de se procurer les Lebossé-Hémery des classes de Seconde , de Première et de Mathématiques."
Je suis allé jeter un oeil.
Est-ce que c'est à ces livres que tu penses ?
Rémi
Tous les livres sont utiles et bons à prendre.
En ce qui concerne les Lebossé-Hémery, je conseille surtout ceux des programmes de 1947.
Je conseille évidemment de les lire mais surtout surtout de faire les exercices qui y sont proposés!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Je suis d'accord avec toi pour les exercices.
[Edit : orthographe]
Les points de rebroussement de la quartique rationnelle sont $(-f/4, \pm f\sqrt2/4)$.
Je suis heureux de voir que nos chemins se croisent à nouveau même si brièvement.
Je suis un peu vexé car je vois que tu as fait tes calculs dans le repère de Poulbot et non dans le mien, c'est te dire le niveau dans lequel je suis tombé!
Ceci dit il me semble important de voir comment Poulbot ou moi avons formé l'équation de cette quartique dont je n'avais aucune idée de l'existence quand j'ai donné cet exercice.
En effet la théorie des enveloppes a complètement disparu de la circulation et si on s'y prend mal les calculs peuvent être très fastidieux!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je pense en effet que Cabri ne sait pas tracer les enveloppes de coniques comme le dit Poulbot, donc on est obligé de faire un minimum de calculs pour pouvoir la tracer comme je l'ai fait!
Il me semble plus joli de placer l'origine du repère au point double de la quartique, d'ailleurs c'est aussi le centre de l'ellipse que tu as décrite.
J'avais le choix entre ces deux repères et je n'avais aucune idée de l'existence de cette quartique.
Il me semblait alors plus logique de prendre l'origine du repère au foyer $F$ car si $M(x,y)$, on a:
$MF^2=x^2+y^2$ en vertu de l'axiome de Pythagore.
L'équation de la conique dont on cherche l'enveloppe dépend de son paramètre via un polynôme du troisième degré.
Donc pour la construction des coniques de la famille passant par un point, c'est cuit d'avance et c'est pourquoi je doute beaucoup que cet exercice ait été donné souvent à l'oral des grands concours d'autrefois car les examinateurs préféraient avant tout des exercices constructibles à la règle et au compas.
Par contre, il existe sans doute une construction du point caractéristique mais je ne l'ai pas encore trouvée.
Autrefois nos anciens prenaient leur pied en construisant les points caractéristiques.
Aujourd'hui on prend le nôtre avec trois points alignés!
Autres temps, autres mœurs!
Enfin une dernière chose qui me turlupine et c'est toi le spécialiste en géométrie algébrique.
Est-ce que je dis une bêtise quand j'affirme qu'une quartique ayant trois points doubles est rationnelle?
Passe une bonne nuit et fais de beaux reves!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Il faut garder les ouvrages destinés à ceux qui avaient choisi les sections scientifiques, section C d'après mes souvenirs!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le genre d'une quartique ayant trois points doubles est $g=\dfrac{(4-1)(4-2)}2-3=0$ donc une telle quartique est unicursale (plutôt que rationnelle).
Donc j'apprends à mon âge plus que canonique que:
unicursal $\not =$ rationnel.
Tu veux que je fasse un A.V.C en me dérangeant dans mes certitudes dont je ne suis d'ailleurs guère certain?
Mais comment fait-on?
Je coupe ma quartique par une conique passant par les trois points doubles et tangente en plus à la quartique en un de ces points doubles.
Ca fait bien un faisceau de coniques?
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Moi, je prendrais plutôt le faisceau de coniques engendré par
1) la réunion de l'axe des abscisses et de la droite verticale passant par les cusps,
2) l'hyperbole symétrique par rapport à l'axe des abscisses dont une branche passe par les trois points singuliers et l'autre vient embrasser le poisson sur sa bouche.
J'avoue n'avoir pas compris entièrement ton paramétrage aquatique ne sachant pas où se trouve la bouche du poisson exactement.
Je serais très curieux d'avoir une figure.
En tout cas dois-je comprendre ton conditionnel comme l'acceptation tacite de mon paramétrage que j'avais donné en général pour toute quartique ayant trois points doubles?
Voici ce que donne visuellement mon paramétrage dans le cas de notre quartique aquatique.
Mais il reste des choses à élucider.
Comment construire cette hyperbole bleue quand on se donne le centre $O$ de la conique de la famille et comment sert-elle pour obtenir le point de contact?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Incité par GaBuZoMeu, je reprends l'axe des ordonnées porté par la directrice $D$ et $F=\left( f,0\right) $.
Si $u$ est l'abscisse de l'autre foyer $f$, on obtient à la Pappus l'équation de la conique
$\varphi _{u}\left( x,y\right) =\left( u+f\right) \left( \left( x-u\right) ^{2}+y^{2}\right) +\left( u-f\right) x^{2}=0$
A partir de $\varphi _{u}\left( x,y\right) =\dfrac{\partial }{\partial u}\varphi _{u}\left( x,y\right) =0$, on obtient les coordonnées des points caractéristiques $x=\dfrac{u\left( f+u\right) }{f},y=\pm \dfrac{u}{f}\sqrt{f^{2}-2u^{2}}$
ce qui permet d'obtenir un paramétrage trigonométrique ou encore $x=2f\dfrac{t\left( t^{2}+2t+2\right) }{\left( t^{2}+2\right) ^{2}},y=2f\dfrac{t\left( 2-t^{2}\right) }{\left( t^{2}+2\right) ^{2}}$ et probablement mieux.
Amicalement. Poulbot
As-tu compris le paramétrage de GaBuZoMeu et peux-tu nous faire une figure?
Je suis preneur.
Ce qui est sûr, c'est qu'il faut mettre les mains dans le cambouis et faire des calculs, toutes choses qu'on déteste aujourd'hui préférant que tout nous tombe tout cuit dans la bouche.
J'aimerais bien avoir ce dont raffolaient nos aïeux, à savoir une construction simple du point caractéristique.
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'obtiens une paramétrisation similaire à celle de poulbot en partant de l'ellipse de ce message. J'ai pris $f=-1$ et $Oz$ pour directrice. On paramètre l'ellipse : $x= \sqrt{2} \cdot \frac{-t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ et $y=2 \cdot \frac{t}{t^{2} + 1}$. On écrit une équation de la normale à l'ellipse au point courant $M$ puis on cherche le point de cette droite qui est équidistant du foyer et de $M$. Ce qui donne pour la paramétrisation de la courbe :
$$x=\left(-\sqrt{2} - 1 \right) \; \left(t - 1 \right) \; \left(t + 1 \right) \; \frac{t^{2} - 2 \; \sqrt{2} + 3}{2 \; \left(t^{2} + 1 \right)^{2}},$$ $$y=\sqrt{2} \; t \; \left(t - 1 \right) \; \frac{t + 1}{\left(t^{2} + 1 \right)^{2}}$$.
$$
\begin{aligned}
x&=\dfrac{(1+\sqrt2) \, (t^2-1) \, (t^2 + (\sqrt2-1)^2)}{2\,(t^2 + 1)^2}\,f\\
y&=\dfrac{-\sqrt2\, t \, (t^2-1) }{(t^2 + 1)^2}\,f
\end{aligned}
$$ Tiens, c'est à un chouïa près la même que celle de Ludwig.
Bien entendu, on peut toujours paramétrer ce fish comme antipodaire par rapport à $F$ de l'ellipse de foyers $F$ et $H$ et d'excentricité $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (Attention, cette ellipse n'est pas celle représentée ICI par Pappus et invoquée par Ludwig)
Amicalement. Poulbot
Il n'y a pas de programme pour trouver les paramétrisations rationnelles les plus simples, c'est-à-dire faisant intervenir des polynômes dont le degré est le plus petit possible ?
Ci-dessous le résultat d'une recherche rapide d'une paramétrisation de la forme (*) : $x= \frac{ax^2+bx+c}{(1+t^2)^2} $, $y=\frac{dx^2+ex+f}{(1+t^2)^2} $.
Pourquoi ce dénominateur ? Je n'en sais rien mais pourquoi pas. On obtient la courbe bleue, que je tourne d'un angle $\alpha$ pour la mettre horizontale. Et je translate la courbe verte obtenue selon $\overrightarrow{OA}$. Deux minutes suffisent pour faire à peu près coïncider cette image avec la courbe initiale (orange plein). C'est prometteur !
L'ensemble des paramétrisations (*) étant stable par ce type de rotations et de translations, on peut espérer un résultat très simple. Cela doit se programmer à mon avis.
edit : non! il n'est pas stable. Par contre on doit pouvoir trouver une paramétrisation (*) de l'image de la courbe initiale par une certaine transformation (translation + rotation).
edit 2 : non ça ne marche pas. Pour le voir il suffit de faire tourner d'un angle $y$ la courbe définie comme ici. Le numérateur de la paramétrisation de l'abscisse s'écrit alors $\left(t + 1 \right) \; \left(-t + 1 \right) \; \left(\operatorname{cos} \left( y \right) \; \left(\sqrt{2} \; t^{2} + t^{2} + \sqrt{2} - 1 \right) - 2 \; \sqrt{2} \; t \; \operatorname{sin} \left( y \right) \right)$, polynôme qui ne se ramène pas au second degré..
Une courbe lisse de degré $d$ est de genre $\dfrac{(d-1)(d-2)}{2}$. Un point double (ou un cusp) fait baisser le genre de 1. Une courbe irréductible $C$ de degré $d$ qui a $\dfrac{(d-1)(d-2)}{2}$ points doubles est de genre 0, c.-à-d. du genre à avoir une paramétrisation rationnelle.
Choisissons alors $d-3$ points supplémentaires sur la courbe $C$. Ça nous fait un total de $\dfrac{(d-1)(d-2)}{2} +d-3 = \dfrac{d(d-1)}{2} -2$ points. L'équation d'une courbe de degré $d-2$ a $\dfrac{d(d-1)}{2}$ coefficients, donc imposer de passer par les $\dfrac{d(d-1)}{2} -2$ points donne un faisceau linéaire de courbes de degré $d-2$. Une courbe de ce faisceau a, d'après Bézout, $d(d-2)$ points d'intersection avec $C$, comptés avec multiplicité. On en connaît déjà $(d-1)(d-2)$ (les points doubles de $C$, avec multiplicité d'intersection 2) plus $d-3$ (les autres points choisis sur $C$, ce qui fait au total $d(d-2)-1$ points fixés. Il ne reste plus de libre qu'un seul point d'intersection avec $C$, qui dépend donc rationnellement du paramètre du faisceau. Voila une paramétrisation rationnelle de $C$.
Ici on a $d=4$, une quartique avec un point double et deux cusps, en choisissant un autre point sur la quartique on obtient 4 points qui déterminent un faisceau linéaire de coniques, chaque conique du faisceau a 7 points fixes d'intersection avec la quartique (les points singuliers comptés deux fois et le points choisis), il ne reste donc qu'un seul point d'intersection qui se balade sur la quartique en dépendant rationnellement du paramètre du faisceau.
Pappus choisit le point supplémentaire confondu avec le point double de la quartique, ce qui revient à imposer la tangence à une des branches de la quartique en ce point. Dommage, ça rompt la symétrie. J'ai fait un choix plus symétrique pour le quatrième point : vous pouvez jouer avec l'applet GeoGebra ici, en bougeant le point M sur la quartique.
Comme tu utilises Bézout, tu obtiens un isomorphisme $P^1(\mathbb C)\to C$ vue comme courbe algébrique de $P^2(\mathbb C)$.
Est-on sûr que la restriction de cet isomorphisme à $P^1(\mathbb R)$ a pour image l'ensemble des points réels de $C$ ?
L'ensemble des points singuliers de $C$ est défini sur $\mathbb R$ puisque $C$ est réelle. Pour avoir un faisceau linéaire défini sur $\mathbb R$, il convient de choisir l'ensemble des $d-3$ points supplémentaires défini sur $\mathbb R$. Par exemple si $d$ est pair et que $C$ n'a pas de point réel, c'est coton !
Je ne comprends pas bien la deuxième partie de ton message.
Par exemple, les points cycliques sont des points doubles d'une quartique bicirculaire rationnelle.
On ne les met pas dans l'ensemble des points singuliers ?
Donc si je prends une quartique bicirculaire rationnelle qui admet $O$ comme point double, une conique qui passe par les points singuliers a une équation de la forme $u(x^2+y^2)+z(vx+wy)=0$ et l'ensemble de ces coniques passant par un point réel régulier de la quartique est bien un faisceau linéaire de coniques défini sur $\mathbb R$.
En fait, on n'a besoin que d'un point régulier $P$ de $\cal C$ !
En effet, on sait calculer explicitement, via $P$, un isomorphisme de degré $1$ de $\mathcal C$ vers une conique (voir [ici] p.45-46).
Ce dialogue sur les paramétrisations est réservée à nos deux brillants algébristes que sont GaBuZoMeu et Gai Requin.
Les questions que je me pose sont beaucoup plus modestes:
A partir de la définition de cette famille de coniques, il s'agissait de tracer ces coniques et éventuellement leur enveloppe.
Je mets à part Poulbot qui est hors concours et qui utilise comme moi Cabri.
Mais je m'attendais à avoir des réponses à ce sujet de la part de ceux qui ne sont pas des manchots dans l'utilisation de GeoGebra comme Ludwig par exemple.
L'avantage de posséder un logiciel de géométrie dynamique, c'est qu'il vous fournit des résultats sans que vous ayez à faire le moindre calcul!
Donc une première question géométrique très concrète, on se donne le centre $O$ d'une conique de la famille, [large]la tracer[/large]
Ceci dit, je voudrais revenir sur la paramétrisation de GaBuZoMeu, je le cite:
Moi, je prendrais plutôt le faisceau de coniques engendré par
1) la réunion de l'axe des abscisses et de la droite verticale passant par les cusps,
2) l'hyperbole symétrique par rapport à l'axe des abscisses dont une branche passe par les trois points singuliers et l'autre vient embrasser le poisson sur sa bouche.
J'ai fait la figure ci-dessous et j'ai tracé l'hyperbole bleue de GaBuZoMeu.
Elle fait trivialement partie d'un faisceau mais elle n'est pas symétrique par rapport à l'axe des abscisses!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Petit veinard, comment as tu fait pour avoir Magma ?
Cordialement,
Rescassol
Edit: Je m'adressais à Gai Requin.
Malheureusement la paramétrisation qui en découle n'est pas plus simple.
Il semble que tu n'as pas bien bien compris de quelle hyperbole je parle. C'est celle-ci qui correspond à $ t=\infty$ (pas tout à fait sur le dessin, mais pas loin) :
J'avais bien pensé à tracer cette hyperbole mais comme elle me paraissait fixe, je ne comprenais pas pourquoi elle fournirait une paramétrisation de la quartique!
Amicalement
[small]p[/small]appus
@GBZM : Je ne sais pas faire mais magma oui !
Je ne recopie pas l'isomorphisme $\phi:\mathcal C\to\mathcal{C}_1$ dont l'inverse est également calculé par magma.
Toutes tes constructions me semblent très artificielles.
Pourquoi ne pas rester naturel en restant dans le cadre fixé au départ?
Pourquoi ne pas chercher toi même à faire la figure comme je l'ai fait moi même avec quelques difficultés.
Du point de vue géométrique le problème est le suivant:
1° Tracer la conique de la famille dont on se donne le centre $O$.
2° Tracer l'enveloppe non pas en utilisant les outils enveloppe de Cabri ou GeoGebra qui sont inopérants mais en donnant une construction géométrique du point de contact (dit point caractéristique) de la conique de la famille de centre $O$ avec son enveloppe.
Laissons ces questions de paramétrisation qui concernent la géométrie algébrique à ses spécialistes et concentrons nous sur une géométrie beaucoup plus élémentaire sinon on risque de parler pour ne rien dire!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Sinon voilà comment j'ai procédé : j'ai cherché le cercle osculateur de centre $O$ à l'ellipse de foyers $F$ et $H$ et d'excentricité $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
Ce n'est pas très compliqué car un point de tangence ($M$ sur la figure) est aussi un des deux points de l'ellipse le plus proche de $O$.
Il s'agit donc de minimiser un polynôme du second degré. J'ai trouvé que $x(M)=2x(O)+ \frac{1}{2}$, facile à construire.
Le reste tombe tout seul : on trace $(FM)$ qui coupe l'autre ellipse en $P$. La perpendiculaire à cette droite passant par $M$ n'est autre que la tangente au point caractéristique. Ce point est obtenu par intersection de $(PF')$ avec la tangente.
edit : on n'a même pas besoin de l'autre ellipse, car $(OM)$ est parallèle à $(NF')$.