Coniques

pappus · May 2021

Mon cher Ludwig
Poulbot est Poulbot, notre maitre à tous.
Il n'a répondu à aucune des mes deux questions car ce sont pour lui des broutilles.
Il n' a même pas donné l'équation d'une conique de la famille et s'est contenté d'écrire l'équation de la quartique.
C'est moi qui a fait l'effort principal, d'abord en proposant cet exercice sans savoir le résultat qu'on allait obtenir.
C'est moi qui a fait la figure avec quelques difficultés.
Est-tu capable de répondre avec l'aide de GeoGebra aux questions que je me suis posées et auxquelles j'ai répondu vaille que vaille avec Cabri?
C'est quand même plus intéressant que d'ânonner des paramétrisations qui n'ont d'intérêt que pour les algébristes!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Ludwig · May 2021

Ben ce n'est pas ce que je viens de faire ?
Ajout : Le point $K$ sur ma figure est le symétrique du milieu de $[FH]$ par rapport à $O$.

poulbot · May 2021

Bonjour Pappus
Je ne suis le maître de personne et j'apprends énormément de tes interventions sur ce forum.
"Il n' a même pas donné l'équation d'une conique de la famille et s'est contenté d'écrire l'équation de la quartique"
Ben non; voir ICI
Amicalement. Poulbot

pappus · May 2021

Merci Poulbot
Oui c'est vrai mais tu as commencé par donner l'équation de la quartique.
L'équation de la conique n'est venue qu'après (sans justification d'ailleurs) mais je comprends parfaitement que tu aies des choses plus intéressantes à faire.
Il se trouve que j'ai, un peu par hasard, une certaine expérience en géométrie en général et dans l'utilisation de Cabri en particulier.
C'est cette expérience que je voudrais partager mais je n'ai personne qui veuille bien dialoguer, à part toi qui n'a besoin de rien!
Tant pis, j'aurais au moins essayé!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Lake · May 2021

Bonsoir pappus,

Je pense que tu sais que je lis régulièrement les fils de ce fprum.
J'ai cru ici être au moins capable de faire une figure sur tes indications en exploitant mon logiciel de géométrie dynamique préféré. Las ! Je suis déçu :

1° Tracer la conique de la famille dont on se donne le centre O.

Aucun problème.Mais il y a 2) :

2° Tracer l'enveloppe non pas en utilisant les outils enveloppe de Cabri ou GeoGebra qui sont inopérants mais en donnant une construction géométrique du point de contact (dit point caractéristique) de la conique de la famille de centre O avec son enveloppe.

Ce point de contact (caractéristique ?), je suis incapable de le "construire". Soit.
J'ai donc espéré trouver une solution approchée, via GeoGebra, en construisant deux coniques de la famille "très proches" et leurs points d'intersection. Restait à faire opérer la fonction "lieu".
Geogebra m'a jeté comme un malpropre (sur plusieurs essais successifs).
Bonne soirée à toi.
Amicalement.

GaBuZoMeu · May 2021

Digestion difficile, Pappus ? Je te trouve bien amer.

pappus · May 2021

Bonjour GaBuZoMeu
Tu as raison.
Je tiens un peu d'Alceste mais dis moi comment se débarrasser de ses défauts surtout quand on est atrabilaire?
@Lake
J'ai fait exactement la même chose que toi.
J'ai cherché l'intersection de deux coniques voisines mais l'outil intersection de Cabri est inopérant.
C'est quand même un peu fort de café.
Ceci dit j'ai obtenu l'abscisse du point de contact très simplement par le calcul.
C'est ce qui m'a permis de tracer la quartique.
Comment ai-je fait?
Je suis aussi intéressé de savoir comment tu as tracé la conique avec GeoGebra!!!!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Ludwig · May 2021

J'aimerais bien qu'on me dise pourquoi la construction que j'ai proposée ne réponds pas aux deux questions de pappus. Est-ce à cause de mon utilisation d'une ellipse auxiliaire ? Avec ma figure j'ai l'ellipse de centre $O$, le point de contact $N$ et son lieu marche très bien avec GeoGebra.

Lake · May 2021

A ta dernière question, rien d'extraordinaire.

Pour $O$ centre de la conique donné et $K$ le pied de la directrice sur l'axe :
le rayon du cercle principal $r$ est obtenu avec $r^2= OF.OK$.
D'un point de vue "logiciel", le reste suit.

Amicalement.

Ludwig · May 2021

Ma figure permet de faire facilement le calcul de l'abscisse du point de contact $N$.
Avec la directrice $(Oz)$ et $F(-1,0)$, si on note $O(t,0)$ alors cette abscisse vaut $-4t^2-2t$.

pappus · May 2021

Mon cher Ludwig
J'ai bien vu que tu venais d'écrire quelque chose.
Je n'ai pas encore eu le temps de te lire.
Je ne suis pas une machine et n'oublie pas que je suis très âgé.
Il faut me laisser le temps de souffler.
Je te répondrai très bientôt!
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus · May 2021

Bonsoir à tous
En attendant ma réponse à Ludwig, voici une construction du point de contact de la conique de la famille $\gamma$ avec son enveloppe, la quartique.
Ce n'était pas facile et j'ai dû chercher longtemps et c'est grâce à une idée de notre maître à tous (et Poulbot sera d'accord) Apollonius que mes recherches ont abouti.
Pour le moment, pas de commentaires car je dois m'occuper de Ludwig mais il n'y a pas un point de moins ou de trop.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Avec cette construction, nos anciens auraient considéré que la partie géométrique de ce problème était terminée.
Et c'est un peu en leur mémoire que je me suis décarcassé! 121306

Ludwig · May 2021

Je sais bien pappus que tu es très âgé, mais je pense que tu ne devrais pas mettre longtemps à comprendre ce que j'ai écrit... Quant à moi j'essaie de faire des efforts, mais je crois bien que je n'aurais jamais assez de temps pour bien te lire.

Grâce à GeoGebra j'ai finalement trouvé une construction très simple du point de contact et de sa tangente, plus simple que la tienne je crois, mais son gros défaut est que je n'ai rien expliqué du tout! Elle est entièrement à la règle et au compas, sans ellipse auxiliaire.

Je note $(\mathscr{C})$ le cercle de diamètre $[AB]$ ($A$ et $B$ ont été définis précédemment), $m$ son centre et $m'$ le symétrique de $m$ par rapport à $O$. Tout d'abord il faut noter que le point $O$ ne peut se trouver qu'entre $G$ milieu de $[Am]$ et $D$ milieu de $[Bm]$. Je construis $T$ sur $[GD]$ tel que $GT=AF$. La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $m'$ coupe $(\mathscr{C})$ en $P$, la parallèle à $(AB)$ passant par $P$ coupe $(mS)$ en $Q$. La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $T$ coupe $(FQ)$ en $R$, et la parallèle à $(AB)$ passant par $R$ coupe $(Pm')$ en $M$. Voilà pour la construction du point $M$.

La tangente au point de contact n'est alors rien d'autre, comme je l'ai dit plus haut, que la perpendiculaire à $(MF)$ passant par $M$. Et ce point de contact $N$ est l'intersection de cette tangente avec la parallèle à $(OM)$ passant par l'autre foyer $F'$.

Bonne soirée 121312

pappus · May 2021

Mon cher Ludwig
D'abord je te remercie de participer si activement à cette discussion.
Je n'ai absolument rien compris à ta démonstration mais après avoir examiné attentivement ta figure, j'ai constaté que nous avions trouvé (à homothétie près) exactement la même construction!
N'est-ce pas fantastique?
A croire qu'il n'y avait que celle là que nous puissions trouver quoique nous fassions.
Après les félicitations, quelques critiques.
Tu démarres avec un baratin sur un certain cercle osculateur de centre $O$.
Alors là je commence à tiquer.
Le cercle osculateur fait intervenir des dérivées d'ordre 2 alors que nous cherchons une tangence c'est à dire un contact du premier ordre qui fait intervenir des dérivées d'ordre 1.
Donc pour moi c'était mal parti du point de vue calcul et c'était très vaseux du point de vue des arguments.
Mais en lisant la suite, je me suis un peu ravisé.
Tu écris:
le point $M$ est l'un des deux points de l'ellipse le plus proche de $O$.
Je ne sais pas comment tu as remarqué cela mais c'est vrai: cela signifie que la droite $OM$ est normale en $M$ à l'ellipse et donc en faisant une défunte homothétie de centre $F$ et de rapport $2$, la droite $F'T$ est normale en $T$ à la grande ellipse.
Et c'est justement cette dernière propriété dont je me suis servi dans ma construction.
A partir de cet endroit nous divergeons!!!
Tu ne nous dis absolument pas comment tu construis ton point $M$, alors qu'au contraire j'indique la construction du point $T$.
C'est pourquoi tu disais que ma construction était plus compliquée que la tienne!!!
Et cette construction, elle date de plus de 2000 ans.
C'est notre maitre Apollonius qui l'a trouvée: c'est la construction des normales issues d'un point à une conique!
Tu penses bien que cette construction se trouve dans les poubelles de le rue de Grenelle depuis un bon bout de temps puisque les coniques ont quasiment disparu de notre enseignement.
Ici la construction d'Apollonius se simplifie puisque le point $F'$ se trouve sur l'axe de l'ellipse.
La fameuse mais défunte hyperbole d' Apollonius se décompose en deux droites et la construction des normales issues de $F'$ devient alors possible à la règle ébréchée et au compas rouillé.
C'est cette construction que tu trouves compliquée que j'ai effectué sur ma figure!
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!
J'ai refait ma figure pour faire apparaître la tienne (c'est à dire ton avant-dernière) en bleu pour que tu sois convaincu que nous avons fait la même chose
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Il va falloir maintenant que j'examine ta construction car finalement tu en as fait une dans ta dernière figure et je la trouve plus compliquée que celle d'Apollonius! (Je te taquine!).
Maintenant je vais dormir.
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves! 121320

pappus · May 2021

Mon cher GaBuZoMeu
Je te souhaite aussi un bon premier Mai(avec un jour de retard!).
Si tu venais chez moi, tu aurais du muguet à ne savoir qu'en faire car il pousse à foison.
Malheureusement je suis totalement isolé et seuls les lièvres peuvent en profiter!
Je n'ai toujours pas compris ton histoire d'hyperbole mais cela n'a guère d'importance et il faut que je me mette dans la tête qu'à mon âge, il y a des choses qui me dépassent!
Amicalement
[small]p[/small]appus, pas si atrabilaire que cela!

GaBuZoMeu · May 2021

Bon dimanche Pappus.
Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas.
Je pense que tu n'as pas oublié qu'un faisceau de coniques est engendré par deux coniques.
Je pense que tu sais que la réunion de l'axe des abscisses et de la droite verticale passant par les deux cusps est une conique (dégénérée). Appelons la $\Gamma_1$.
Je pense que tu as compris qui est "l'hyperbole symétrique par rapport à l'axe des abscisses dont une branche passe par les trois points singuliers et l'autre vient embrasser le poisson sur sa bouche" (tangente au à son point d'intersection avec l'axe des abscisses situé le plus à gauche). Appelons-la $\Gamma_2$.
J'utilise le faisceau de coniques engendré par ces deux coniques $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$, faisceau paramétré par $t$. Le paramètre $t=0$ correspond à $\Gamma_1$ le paramètre $t=\infty$ à $\Gamma_2$, La symétrie par rapport à l'axe des abscisses est respectée, ce qui fait que la paramétrisation de la quartique obtenue ainsi a la propriété que $x(t)$ est paire et $y(t)$ impaire.
Il n'y a là absolument rien de sophistiqué.

Ludwig · May 2021

Bonjour à tous,

Dans ma dernière figure la définition de $T$ peut paraître artificielle, et elle l'est : c'est juste la position du point de $(AB)$ telle que le lieu de l'intersection de $(FQ)$ avec la parallèle à $(AB)$ passant par $M$ soit la perpendiculaire à $(AB)$ passant par ce point, $T$. J'ai introduis ce point pour me passer d'une ellipse et, en réalité, n'importe quel point de $(AB)$ peut faire l'affaire (sauf $m$). Alors autant en prendre un tel que le lieu associé soit une droite déjà construite, et pourquoi pas la directrice. Si on prend $A'$ symétrique de $A$ par rapport à $H$ alors $(QA')$ coupe la directrice en $R$ et le point $M$ est l'intersection de $(Pm')$ avec la parallèle à $(AB)$ passant par $R$.
On a donc gagné une droite, ce qui fait dix droites et un cercle. 121334

pappus · May 2021

Merci Ludwig pour ta nouvelle contribution.
Je la regarderai un peu plus tard car pour le moment je suis saturé des quartiques aquatiques. Il faut que je souffle.
Et puis il y a aussi Léon qui m'attend!!
Remarque que le matin je suis plus détendu.
Je prends mon petit déjeuner.
Dehors le soleil brille, les oiseaux chantent, en fait je le suppose car je suis sourd comme un vieux pot, Hirsute, le chat prend son bol d'air matinal, Joseph l'écureuil attend patiemment au haut de son sapin qu'il dégage pour prendre son bain de soleil sur le muret, bref tout va bien, mis à part la géométrie décédée et le géomètre qui tente de lui survivre vaille que vaille!
Passe une bonne journée!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Coniques

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