Un point sur un côté du triangle de contact

Jean-Louis Ayme · April 2021

Bonjour,

un problème personnel…

1. ABC un triangle
2. (I) le cercle inscrit
3. DEF le triangle de contact
4. G le second point d'intersection de (AD) avec (I)
5. (J) le cercle circonscrit au triangle GDC
6. N le milieu de [EC]
7. (K) le cercle circonscrit au triangle DEN
8. M le second point d'intersection de (K) et (J).

Question : M est sur (DF).

Merci A.D. pour votre aide.
Sincèrement
Jean-Louis 121154

jelobreuil · April 2021

Bonsoir Jean-Louis, bonsoir à tous,
Si je comprends bien, il s'agit de montrer que DF est l"axe radical des cercles (J) et (K), c'est bien ça ?
Il devrait donc y avoir des points correspondants sur les autres côtés du triangle de contact, n'est-ce pas ? et donc, un (nouveau ?) triangle dérivé de ABC ...
Mais j'extrapole, j'extrapole ...
Bien cordialement
JLB

Jean-Louis Ayme · April 2021

Bonsoir à tous,

ce problème apparemment séduisant par sa forme, se révèle dans la recherche d'une solution synthétique, être à la fois curieux et bizarre (en anglais weird).
J'ai pour ma part commencé par l'idée de Jean-Louis que je remercie, mais sans succès...
En le prenant par un autre ''bout'', une preuve synthétique permet de conclure...

Sincèrement
Jean-Louis

PGL@R92 · April 2021

Bonjour Jean-Louis
Le faisceau ($DA,DB,DE,DF$) est harmonique (je laisse de côté la démonstration).
En inversant par rapport au cercle ($D$, $DC$), le cercle ($I$) devient la parallèle à $BC$ $F'G'E'$ et $F'G' = G'E'$.
Le cercle ($J$) devient la droite $CG'$.
Le cercle ($K$) coupe $BC$ en $K$ milieu de $DC$ (symétrie autour de la bissectrice). Son inverse devient la droite $K'E'$ avec $DK' = 2 \times DC$.
$DF'$, $CG'$ et $K'E'$ ont un point commun, donc $M$ appartient à $DF$.

Amicalement
Pierre 121242