Des cubiques à répertorier ?
Des cubiques à répertorier.
On se donne trois points distincts O, A et B sur une même droite ou un même cercle,
un point M sur un cercle de centre O passant par A, et l’on construit le point P intersection de la droite (AM) et de la médiatrice de [BM].
Cabri donne des équations de cubiques pour les lieux de P par rapport à M.
Ces cubiques sont-elles répertoriées ?
On se donne trois points distincts O, A et B sur une même droite ou un même cercle,
un point M sur un cercle de centre O passant par A, et l’on construit le point P intersection de la droite (AM) et de la médiatrice de [BM].
Cabri donne des équations de cubiques pour les lieux de P par rapport à M.
Ces cubiques sont-elles répertoriées ?
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Réponses
Toutes les cubiques absolument toutes les cubiques sont répertoriées sur le site de B.Gibert.
Ta cubique est la podaire du point $A$ par rapport à une parabole que je te laisse déterminer!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
L'application $B\mapsto F$ (où $F$ est le foyer de la parabole en question) est une transformation circulaire directe d'ordre 4.
Le foyer $F$ est l'image du point $B$ dans la transformation circulaire directe de pôle objet $A'$, de pôle image $A$ et de points fixes $U$ et $V$.
Autant dire que c'est cuit, cuit et recuit d'avance et que ce n'est même plus la peine de continuer.
Mais bof, il nous reste les axiomes de Thalès et de Pythagore!
Merci d'avoir pensé à me remercier.
Mais as-tu vraiment besoin de ce résultat?
Sais-tu que je l'ai trouvé sans faire le moindre calcul, uniquement en me servant de mon logiciel?
Evidemment je sais que cela n'intéressera personne.
Les transformations circulaires ont disparu depuis longtemps.
On ne sait même plus ce qu'est une conique, alors une cubique, n'en parlons pas!
Donnez nous au moins trois points alignés ou trois droites concourantes ou bien quelque trapèze ou petit losange sinon laissez nous tranquilles!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Pour ceux que cela intéresse, je vais dire comment j'ai prouvé expérimentalement que l'application $B\mapsto F$ est une transformation circulaire.
J'ai fait la figure de Léon Claude Joseph et tracé le lieu de son point $P$.
J'ai obtenu dans les bons cas une courbe ressemblant à une strophoïde avec un point double en $A$.
Un reste de culture taupinale me disait que c'était la podaire d'une parabole par rapport au point $A$.
J'ai donc tracé en pointillé bleu la perpendiculaire en $P$ à la droite $AP$.
J'ai demandé au logiciel de tracer son enveloppe.
Il m'a tracé quelque chose qui ressemblait vaguement à une parabole.
So far so good!
Pour en avoir le cœur net, j'ai pris cinq points sur l'enveloppe et j'ai tracé la conique passant par ces cinq points.
J'ai constaté qu'elle recouvrait parfaitement l'enveloppe.
J'efface l'enveloppe gardant la conique.
Je clique sur la conique et le logiciel me dit: c'est une parabole.
Bingo!
Je n'ai plus qu'à tracer trois autre droites pointillées analogues et je sais qu'elles sont aussi tangentes à la parabole.
Je dispose d'une macro me donnant le foyer (et la directrice) de la parabole tangente à ces quatre droites.
Et ça y est: je dispose de mon application $B\mapsto F$ sur mon écran.
Comment faire pour prouver que c'est une transformation circulaire?
Eh bien j'applique le théorème fondamental de la géométrie circulaire.
C'est assez drôle cette histoire de théorèmes fondamentaux, si fondamentaux qu'on a décidé en haut lieu de ne plus les enseigner.
Et c'est ainsi qu'ils ont disparu au fil des années.
Boudiou, j'espère qu'il n'existe pas un théorème fondamental de l'algèbre linéaire.
Ce serait un bien mauvais présage!!!
Quoiqu'il en soit, j'assujettis le point $B$ à rester sur une droite puis sur un cercle et je regarde ce qui se passe pour le point $F$
Ce qui se passe?
Je ne vous le dirais pas!
C'est sans importance ou bien ce n'est pas fondamental puisque la géométrie circulaire a disparu!
Amicalement
[small]p[/small]appus
$3$ variations sur la nature de la singularité en $A$ de la cubique de Léon Claude Joseph.
Pour quelle position relative de $O,A,B$ sont-elles obtenues?
Amicalement. Poulbot
Le matin, je suis toujours de bonne humeur et j'ai déjà oublié l'amertume d'hier soir.
Bref quand le point $B$ se balade sur une droite ou un cercle, je constate que le point $F$ s'obstine à décrire un cercle!
Donc d'après le défunt théorème fondamental de la géométrie circulaire, l'application $f:B\mapsto F$ est une transformation circulaire.
Il reste à l'identifier plus précisément et là je suis désolé, je suis obligé de supposer que vous savez un minimum de cette maudite géométrie circulaire.
La première chose que j'ai faite, c'est de regarder la restriction de $f$ à différents objets de la figure.
Et la droite $AA'$ me tendait les bras.
J'ai donc assujetti le point $B$ à se trouver sur cette droite et j'ai regardé ce que faisait le point $F$.
Et j'ai constaté qu'il restait lui aussi sur cette droite.
Là, c'est bonnard car cela signifie que la droite $AA'$ passe par les pôles de $f$.
En déplaçant le point $B$ sur la droite $AA'$, qu'est-ce que j'ai constaté?
C'est bien à cela que doit servir l'adjectif dynamique dans logiciel de géométrie dynamique.
On modifie quelque chose et on regarde ce qui se passe!
Et je trouve:
$f(\infty)=A$, $f(A) =O$, $f(O) =A'$, $f(A') =\infty$
C'est trop beau pour être vrai, notre $f$ est d'ordre $4$.
Si je Rescassolise en prenant pour affixes: $A(1)$, $O(0)$, $A'(-1)$
Cela veut dire que la restriction de $f$ à la droite $AA'$ s'écrit:
$$(x'-1)(x+1) =Cte=-2\qquad$$
Maintenant cette restriction se prolonge au plan tout entier,
soit en une transformation circulaire directe d'écriture $(z'-1)(z+1)=-2$
soit en une transformation circulaire indirecte d'écriture $(z'-1)(\overline z+1)=-2$
Je demande alors au logiciel de trancher entre les deux possibilités et c'est la transformation circulaire directe qui l'emporte!
Alleluia, alleluia.
Sans faire le moindre calcul, j'en suis arrivé là.
Le reste est facile, les points fixes sont les points $U(\imath)$ et $V(-\imath)$
Sur ma figure, on passe du point $B$ au point $F$ soit en effectuant la symétrie par rapport à la droite $UV$ et on arrive en $B'$ suivie de l'inversion de pôle $A$ fixant $U$ et $V$ qui transforme $B'$ en $F$ ou bien en faisant d'abord l'inversion de pôle $A'$ fixant $U$ et $V$ et on arrive en $F'$ suivie de la symétrie par rapport à la droite $UV$ qui renvoie $F'$ sur $F$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Il ne reste plus qu'à trouver une âme charitable qui veuille bien démontrer tout ce qui n'est pour le moment qu'un tissu de suppositions douteuses!!!!!
Si on regarde attentivement ma première figure, tes questions deviennent alors très faciles!
Amicalement
[small]p[/small]appus
De par leur mode de génération, les cubiques en question font donc partie d'une famille intéressante de courbes.
Ce que je retiens surtout, c'est que personne n'a voulu s'intéresser à mes suppositions trouvées à la force du logiciel!
Il faut bien dire qu'on était loin très loin des axiomes de Thalès et de Pythagore!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Si j’ai tardé à mettre en œuvre tes instructions, c’est que je voulais mettre à jour mes connaissances en géométrie circulaire. Les programmes de mathématiques élémentaires de 1955 pouvaient nous y initier si le professeur les prolongeait…
Parmi les plus de 16000 inscrits sur ce site, beaucoup n’ont pas eu la chance de faire une ‘prépa’, et maintenant, à la retraite, ils essaient de suivre les thèmes en discussion, de parfaire leurs connaissances et même de proposer leurs thèmes propres.
Merci à tous ceux qui comme toi nous font progresser.
Voici donc en pièce jointe la parabole recherchée avec son foyer et sa directrice.
[Contenu du fichier pdf jont. AD]