Cercles tangents intérieurement dans ellipse

Bonsoir Tonigim,
Cette réponse, juste pour te souhaiter la bienvenue sur ce forum, et te féliciter pour ton français, pour lequel il n'y a vraiment, mais alors vraiment, pas lieu pour toi d'être désolé !
Car pour ce qui est de ta question, je ne sais pas y répondre ...
Une précision : imposes-tu aux cercles C₁ et C_n d'être tangents à l'ellipse en ses sommets, comme tu sembles le faire sur ta figure ? Car ils pourraient être tangents à l'ellipse en deux points distincts, comme les autres cercles ...

Pour $n=3$ je trouve $a=2b$.

Merci Poulbot
J'étais sûr d'avoir cet article mais je ne suis pas arrivé à le retrouver
En fait il n'y a pas besoin de savoir grand chose.
On travaille dans un repère où l'ellipse a pour équation réduite :
$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-1=0.
\qquad$$ Si $P(u,0)$ et $Q(v,0)$ sont deux points de l'axe focal, il faut écrire que le cercle de diamètre $PQ$ d'équation :
$$(x-u)(x-v)+y^2=0,\qquad
$$ est bitangent à l'ellipse.
Pour cela on forme l'équation aux $x$ des points d'intersection :
$$(x-u)(x-v)+b^2(1-\dfrac{x^2}{a^2})=0.\qquad
$$ Et on écrit que cette équation du second degré a une racine double.
Est-ce encore enseigné ?
On obtient ainsi une relation de liaison entre $u$ et $v$ dont on fera bon usage !
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Je ne suis pas sûr que les cercles aux extrémités de la chaine de Tonigim soient bitangents à l'ellipse
Il y a là une imprécision dans son énoncé qui laisse le champ ouvert à beaucoup de possibilités!
Je pense qu'il faut être plus modeste er se contenter de l'énoncé suivant:
Partant d'une chaine de $n$ cercles bitangents $$(a_0,a_1),(a_1,a_2), ..,(a_{n-1},a_n)$$ à l'ellipse d'équation: $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, quelle est la relation entre $a_0$ et $a_n$?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Tonigim pour cette précision dont je me doutais.
J'en déduis donc que tu es espagnol ou catalan!
Bienvenue sur ce forum!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

Dans ta formule [tex]R=\frac{b^2}{a}[/tex], il faut remplacer les balises [tex] et [\tex] par des dollars: $R=\dfrac{b^2}{a}$.
J'ai aussi remplacé frac par dfrac.

Cordialement,

Rescassol

Edit: Tu as trouvé tout seul plus rapidement que ma réponse n'est arrivée.

Bonjour à tous
L'équation
$$(x-u)(x-v)+b^2\big(1-\dfrac{x^2}{a^2}\big)=0.\qquad
$$ aura une racine double si et seulement si :
$$(u+v)^2=4\dfrac{c^2}{a^2}(uv+b^2).\qquad
$$ On est donc amené à étudier une suite $n\mapsto u_n\ $ telle que :
$$(u_{n-1}+u_n)^2=4e^2(u_{n-1}u_n+b^2).
$$ J'écris la même relation un cran au dessus :
$$(u_n+u_{n+1})^2=4e^2(u_nu_{n+1}+b^2).\qquad
$$ Puis je fais la différence :
$$(u_{n+1}-u_{n-1})(u_{n-1}+2u_n+u_{n+1})=4e^2u_n(u_{n+1}-u_{n-1}).\qquad
$$ Après simplification, on tombe sur une relation de récurrence linéaire :
$$u_{n+1}+2u_n(1-2e^2)+u_{n-1}=0.\qquad
$$ Sont-elles encore enseignées ?
En Espagne et en Catalogne pas de problème, ici dans notre république, je n'en suis pas tout à fait sûr !!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Pour $n=4$ je trace l'ellipse avec $b=1$, de centre $O$ et passant par $A(a,0)$ variable sur $(Ox)$, ainsi que le dernier cercle $a_4$ de la chaîne, de rayon $ \frac{1}{a} $. Le centre du cercle $a_3$ doit être au milieu de $[OA']$ où $A'$ est le point diamétralement opposé à $A$ sur $a_4$, je trace ce cercle. Lorsque $A$ varie sur $(Ox)$ le rayon de cercle varie continûment de $0$ à $+\infty$, alors que l'ellipse, elle, reste dans la partie du plan $-1\leq y \leq 1$. Il existe donc un $a_0$ tel que ce cercle et cette ellipse aient exactement deux points d'intersection, symétriques par rapport à $(Ox)$.

En faisant varier $A$ sur $(Ox)$ proportionnellement à la distance entre ces deux coniques (menu Propriétés puis Algèbre du point $A$), on obtient une figure qui converge vers la solution. Ne reste plus qu'à lire l'abscisse du point $A_0$ obtenu, d'en prendre une forme close proposée par l'inverseur de Plouffe ou celui de Wolfram Alpha, et de vérifier que cette valeur fait l'affaire en faisant quelques calculs.

Je trouve ainsi que, pour $n=4$, on a $\frac{a}{b}=\sqrt{2 \; \left(\sqrt{2} + 2 \right)}$.
Par un procédé analogue on montre que $\frac{a}{b}=1+\sqrt{5}$ pour $n=5$.

Cette méthode, à la fois laborieuse et très efficace, présente quelques inconvénients : elle n'explique rien du tout (!) et n'est pas généralisable (pour l'instant) à tout entier $n$. Elle présente cependant un avantage : lorsqu'un problème n'est pas facilement voire pas du tout résoluble par les méthodes classiques, elle peut quand même apporter de vraies solutions.

Bonne Nuit à tous !
Décidément, rien ne me sera épargné et il faut toujours que ce soit moi qui fasse les plus petites corvées, même si ce n'est plus de la géométrie.
Comme on a affaire à une ellipse, on sait que son excentricité $e$ vérifie les inégalités:: $0<e<1\qquad$
On peut donc écrire: $e=\sin(\alpha)\qquad$
La relation de récurrence s'écrit alors:
$$u_{n+1}+2u_n\cos(2\alpha)+u_n=0.\qquad
$$ On est amené à résoudre l'équation du second degré, (qui porte un nom mais j'ai oublié lequel):
$$r^2+2r\cos(2\alpha)+1=0,
$$ dont les racines sont : $\qquad \{-e^{2\imath \alpha},-e^{-2\imath\alpha}\}.\qquad$
Faut-il que je continue ?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
C'est un peu gênant ce signe moins, il pourrait troubler les âmes sensibles.
Qu'à cela ne tienne, je change mon fusil d'épaule en cours de route et je définis l'angle $\alpha$ par l'égalité :
$$\alpha=\arccos(e).\qquad
$$ L'équation récurrente linéaire devient : $\quad u_{n+1}-2\cos(2\alpha)u_n+u_{n-1}=0,\qquad$
et son équation caractéristique (?) : $\quad X^2-2\cos(2\alpha)X+1=0.\qquad$
dont les racines sont : $\quad \{e^{2\imath\alpha},e^{-2\imath\alpha}\}$
La solution générale de l'équation récurrente est donc :
$$u_n=A\cos(2n\alpha)+B\sin(2n\alpha).\qquad
$$ Il ne reste plus qu'à expliquer la valeur de $u_1$ :
$$u_1=a(1-2e^2).
$$ Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci ToniGim pour ce beau problème
Avec l'option citer de notre forum, tu peux voir comment les participants du forum utilisent le $\LaTeX$.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Ludwig
Maintenant que tu te rappelles la théorie, peux-tu mener les calculs jusqu'à la fin, j'ai vraiment la flemme de les faire:
1° Pour les faibles valeurs de $n$ pour confirmer les valeurs que tu as trouvées avec l'inverseur de Plouffe
2° Pour vérifier qu'il y a des solutions pour tout entier $n$ aussi grand soit-il.
Cela ne me parait pas si évident que cela!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Oula... avant de partir : pas besoin de linéariser !
On a $e=\operatorname{cos} \left( \frac{\pi }{2 \; n} \right)$.

Pour l'ellipse on a, pour $k$ entier de $0$ à $n$ : $$u_k=-\frac{\operatorname{cos} \left( k \; \frac{\pi }{n} \right)}{\operatorname{sin} \left( \frac{\pi }{2 \; n} \right)}.$$ Du coup j'ai fait un petit applet qui construit automatiquement l'ellipse et tous les cercles en fonction du curseur $n$. Comment ça marche ? C'est très simple : avec la commande GeoGebra Séquence(((-cos(k pi /n))/sin(pi/2/n),0),k,0,n).

Oui pardon, j'ai oublié de préciser que ma formule est valable uniquement pour $b=1$. J'ai pris $b=1$ pour avoir une variable en moins, et cela n'empêche pas bien sûr d'avoir le résultat général, puisqu'on raisonne à un facteur d'échelle près.
La formule complète est : $$u_k=-\frac{b\operatorname{cos} \left( k \;\frac{\pi }{n} \right)}{\operatorname{sin} \left(\frac{\pi }{2 \; n} \right)}.$$ Pour la trouver j'ai simplement terminé tes calculs.
Les solutions réelles de l'équation récurrente sont données par $u_k=A\cos(2k\alpha)+B\sin(2k\alpha).$
Sachant que $u_0=-a$ et $u_1=a(1-2e^2)$ on trouve que $A=-a$ et $B=0$ s.

On a donc $u_k=-a\cos(2k\alpha)$ pour $k=0,...,n$, et avec $\alpha=\arccos(e).$

Or $U_n=a$, et comme $0<e<1$ on obtient que l'excentricité $e=\operatorname{cos} \left( \frac{\pi }{2 \;n} \right)$. D'où $u_k=-a\cos(\frac{k \pi}{n}).$

Ensuite, de $e= \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} $ on déduit que $a\sin(\frac{\pi}{2n})=b$, d'où l'égalité écrite au début de ce message.