Une division harmonique pour la nuit

YvetteP · May 2021

Bonsoir

Montrer que $[A,B,S,T]=-1$.

Codrdialement
Yvette 121398

soland · May 2021

Très joli !

pappus · May 2021

Ma chère YvetteP
C'est immédiat si on connait la théorie des coniques projectives.
Donc aujourd'hui c'est fichu!!!
Les cercles $\Gamma$ forment un faisceau et induisent donc sur la tangente commune $L$ une involution:
$$A\iff B\qquad$$
Les points fixes de cette involution sont les points $S$ et $T$, (faire $\Omega=P\ $ ou $\Omega =Q$).
Donc $$(A,B,S,T)=-1\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus 121432

pappus · May 2021

Bonne Nuit à tous
Une autre preuve plus élémentaire compréhensible par les bacheliers d'autrefois mais tout aussi incompréhensible pour ceux d'aujourd'hui.
Tout ce que peux dire, c'est:
[large]Regarde[/large]
Amicalement
[small]p[/small]appus 121408

Rescassol · May 2021

Bonsoir,

Puissance et axe radical, et les formules des divisions harmoniques, en particulier celle avec un certain milieu.

Cordialement,

Rescassol

Jean-Louis Ayme · May 2021

Bonjour,

je rejoins l'idée de Rescassol, avec la formule de Newton pour le milieu U de [ST]...

Sincèrement
Jean-Louis

YvetteP · May 2021

Merci Mr Pappus pour vos deux arguments.

Je découvre cela en me réveillant ce matin, avec une réelle joie.

Le second est trop mignon, et il suffisait pour le voir de dessiner un cercle !!

Vous avez parlé de géométrie projective, et ce mot lui aussi fait entrevoir aussitôt le faisceau des coniques passant par deux points donnés $I$ et $J$ (ici les points cycliques) et tangentes en $O$ à une droite donnée (ici la droite verticale)...

Merci encore,

Yvette

pappus · May 2021

Bonjour à tous

Y a d'la joie
Bonjour bonjour les hirondelles
Y a d'la joie
Dans le ciel par dessus le toit
Y a d'la joie
Et du soleil dans les ruelles
Y a d'la joie
Partout y a d'la joie
Tout le jour, mon cœur bat, chavire et chancelle
C'est l'amour qui vient avec je ne sais quoi
C'est l'amour bonjour, bonjour les demoiselles
Y a d'la joie
Partout y a d'la joie

Amicalement
[small]p[/small]appus

YvetteP · May 2021

Cher Mr Pappus,

je suis heureuse que mon message vous ait réjoui, ou du moins je l'espère.

Il reste qu'une figure serait la bienvenue, avec les points cycliques ramenés "à distance finie".

Il faut à cet effet disposer de bien plus qu'un logiciel de géométrie dynamique ; il faut avoir des idées !
Des idées sur comment dessiner trois coniques du faisceau concerné et une tangente commune à deux d'entre elles.

Cordialement vôtre
Yvette

pappus · May 2021

Ma chère YvetteP
Ce que femme veut, Dieu le veut!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Comment ai-je fait la figure?
Tout est exact!
Pas de recours à la souris!

Le gris boulanger bat la pâte à pleins bras
Il fait du bon pain du pain si fin que j'ai faim
On voit le facteur qui s'envole là-bas
Comme un ange bleu portant ses lettres au Bon Dieu
Miracle sans nom à la station Javel
On voit le métro qui sort de son tunnel
Grisé de ciel bleu de chansons et de fleurs
Il court vers le bois, il court à toute vapeur 121434

YvetteP · May 2021

Merci, Merci cher Pappus !

Je ne sais pas s'il y a une démonstration qui évite ici aussi de passer par l'involution de Desargues* définie par le faisceau sur la droite $(ST)$, mais une façon de faire serait de renvoyer $I$ et $J$ chez eux, à l'infini, et de reprendre la démonstration avec les cercles !

C'est joli les maths, les chansonnettes d'amour aussi !

Yvette

*ajouté après le post suivant de Mr Pappus...

pappus · May 2021

Ma chère Yvette
Nul besoin d'envoyer quoique ce soit à l'infini.
Non, on applique tout simplement le théorème de Gaspard (1593-1662) qui visiblement s'est donné beaucoup de mal pour pas grand chose, du moins chez nous!
Amicalemet
[small]p[/small]appus
PS
Y a d'la joie
La tour Eiffel part en balade
Comme une folle elle saute la Seine à pieds joints
Puis elle dit:
Tant pis pour moi si j'suis malade
J'm'ennuyais toute seule dans mon coin
Y a d'la joie
Le percepteur met sa jaquette
Plie boutique et dit d'un air très doux, très doux
Bien l'bonjour, pour aujourd'hui finie la quête
Gardez tout
Messieurs gardez tout

pappus · May 2021

Ma chère Yvette
Je n'ai pas de macro me construisant les tangentes communes à deux coniques et je ne l'ai pas fabriquée car je n'en avais pas l'usage jusqu'à aujourd'hui où j'en aurais eu bien besoin pour faire ta figure.
Pourtant j'ai réussi à la faire d'une façon un peu détournée, il est vrai!
Comment m'y suis-je pris?
Et comment créer une macro construisant les tangentes communes à deux coniques , avec les points de contact pour faire bonne mesure?
Amicalement
[small]p[/small]appus

john_john · May 2021

Bonjour, Pappus,

pour une fois, je ne tombe pas sur un sujet déjà bouclé, ou tellement avancé que j'y perds mon latin et mon grec. Pour avoir les (quatre) tangentes communes à deux coniques, on peut procéder par pôles et polaires réciproques et se ramener à l'intersection de deux coniques.

Amicalement, j__j

pappus · May 2021

Bravo j_j
Que deviens-tu en ces temps troublés?
Je te souhaite bon courage et beaucoup de succès pour tes taupins!
Bravo tu as trouvé.
C'est une macro qui ne devrait pas être trop difficile à mettre en place avec Cabri ou GeoGebra!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Yannguyen · May 2021

Bonsoir JJ

Combien parmi les élèves que tu as eu ces dix dernières années savent-ils déjà construire
les « quatre » tangentes communes à deux cercles donnés ?

Cordialement

Yann

john_john · May 2021

Bonsoir, Pappus ! Actuellement, je suis, mais d'un peu loin, la scolarité de mes 5/2 car j'ai atteint l'âge limite et ai dû prendre ma retraite juste après la rentrée de septembre 20. J'avais fabriqué en CaBri la macro dont tu parles et, avec GéoGébra, je n'ai pas encore eu l'obligation de le faire.

Bonsoir, Yann : très très peu, sans doute ; ai-je eu des aliens en face de moi :-S

pappus · May 2021

Mon cher j_j
Bonne retraite!
Maintenant tu as tout le temps de nous rendre visite!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Yannguyen · May 2021

Merci à Yvette de m’avoir rappelé la jolie figure qui suit, extraite du trop ignoré livre des quatre mousquetaires
AD, JDE, RM et THY, et ayant pour trop banal titre
« Formes quadratiques et géométrie »

Cordialement
Yann 121560

john_john · May 2021

Merci, Pappus !

Quant à la figure des huit points, on peut la faire de deux façons : placer deux coniques et construire les quatre tangentes communes ou, inversement, placer quatre droites et construire deux coniques du faisceau tangentiel (en les faisant toucher chacune une cinquième droite). Evidemment, il faut une heure pour obtenir un résultat satisfaisant : ne pas avoir deux points de contact (et non pas de tangence, quel barbarisme !) trop rapprochés et avoir une conique des huit points agréable.