Simplexes

Alesha · May 2021

Bonsoir,

Dans le livre de topologie algébrique écrit par Munkres, on demande en exercice de prouver certaines propriétés des simplexes géométriques. On y donne une indication. J'ai fait l'exercice sans utiliser l'indication et je ne vois pas à quoi elle sert. Je suppose que l'idée est de se ramener aux simplexes standards mais je ne vois pas en quoi montrer ces propriétés sur les simplexes standards serait différent (et plus facile, ou au moins plus court) que de les montrer sur les simplexes en général.
Voir le .pdf ci-joint.

Maxtimax · May 2021

Je pense que c'est une indication au sens où elle te permet de simplifier non pas les preuves, mais les calculs qui interviennent dans les preuves.

Pour 1) ça ne change pas grand chose puisqu'il faut au préalable montrer que la transformation $T$ en question est continue; mais prenons par exemple 2):

Alors ledit segment est de la forme $\{(t, (1-t)\mathbf a ), t\in [0,1]\}$, et on n'a quasiment rien à faire: deux tels segments sont évidemment disjoints sauf en $t=1$ puisqu'alors $1-t\neq 0$ et donc on peut regarder sur la deuxième coordonnée.
De plus, un élément du simplexe $(b_0,...,b_n)$ s'écrit ou bien $(1,0,...,0)$, ou bien $(b_0,(1-b_0) \frac{1}{1-b_0} \mathbf b)$ et est donc bien dans un tel segment.

Evidemment, ce sont les mêmes calculs que ceux que tu fais, mais ils sont plus simples à écrire et on a moins à se casser la tête.

Pour le point 3), c'est à peu près pareil: le simplexe standard est évidemment fermé (c'est une intersection de fermés: $[0,1]^{n+1}\cap \{\mathbf x\mid \sum_i x_i = 0\}$) et borné (il est inclus dans $[0,1]^{n+1}$).

Comme tu le vois, l'amélioration est vraiment très petite, je ne sais pas si ça valait le coup de le mettre comme indication parce qu'on y gagne vraiment très peu; mais ça accélère un tout petit peu 2) ?