Un point de plus sur l'hyperbole de Kiepert

% Yannguyen - 04 Mai 2021 - Un point de plus sur l'hyperbole de Kiepert
% Une question supplémentaire de Poulbot

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syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

A=[1; 0; 0]; % Sommet A du triangle ABC
Ap=[0; 1; 1]; % Milieu A' de [BC]

%-----------------------------------------------------------------------

% Point de Spieker

Sp=[b+c; c+a; a+b];

% Droite (A Sp)

AS=Wedge(A,Sp); % On trouve AS = [0, - a - b, a + c]

% Médiatrice de [BC]:

Med = [c^2 - b^2, -a^2, a^2];

% Point d'intersection U de ces deux droites:

U=Wedge(AS,Med);
U=ParPGCD(U); % Simplification

% On trouve U = [-a^2; -(a + c)*(b + c); -(a + b)*(b + c)]

% Carré de la distance de U à A'

d2=Distance(U,Ap,a,b,c);

Tgte2=Factor(d2/(a^2/4)); % tan(t)^2

% On trouve Tgte2=((a + b - c)*(a - b + c)*(b - a + c))/(a + b + c)^3

S1=(s3 - s1*s2)*(s1^4 - 4*s1^2*s2 + 6*s1*s3 + s2^2);
S2=0;
S3=-(s3 - s1*s2)*(s1^2*s3^2 - 4*s1*s2^2*s3 + s2^4 + 6*s2*s3^2);
S4=4*s1^5*s3 - 16*s1^3*s2*s3 + 28*s1^2*s3^2 - 12*s1*s2^2*s3 + 4*s2^4 + 24*s2*s3^2;
S5=- 4*s1^4*s3^2 + 12*s1^2*s2*s3^2 + 16*s1*s2^3*s3 - 24*s1*s3^3 - 4*s2^5 - 28*s2^2*s3^2;
S6=0;

% Yannguyen - 04 Mai 2021 - Un point de plus sur l'hyperbole de Kiepert
% Une question supplémentaire de Pappus

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syms a b c x real

s1(a,b,c)=a+b+c;
s2(a,b,c)=a*b+b*c+c*a;
s3(a,b,c)=a*b*c;

vdm(a,b,c)=(a-b)*(b-c)*(c-a);
Surf(a,b,c)=vdm(a,b,c)/s3(a,b,c); 

%-----------------------------------------------------------------------

gx=s1(a,b,c)/3;
gy=s1(1/a,1/b,1/c)/3;

Eq(a,b,c)=numden(Factor(gx*gy-1));

collect(Eq(a,b,x))

% (a + b)*x^2 + (a^2 - 6*a*b + b^2)*x + a^2*b + a*b^2

A=a+b;
B=a^2-6*a*b+b^2;
C=a^2*b+a*b^2;

D=Factor(B^2-4*A*C)  % D = (a - b)^2*(a^2 - 14*a*b + b^2)

%-----------------------------------------------------------------------

% Cas où le discriminant D est nul: D=0
% Alors b=(7-4*sqrt(3))*a ou b=(7+4*sqrt(3))*a

S=Factor((1/c-1/a)*(b-a)-(1/b-1/a)*(c-a))

Nul=Factor(Surf(a,b,c)-S) % Égal à 0, donc on a bien le double de l'aire

syms r    % r = sqrt(3)

t=7-4*r; % l'autre cas consiste à intervertir a et b

b=t*a;

A=a+b;
B=a^2-6*a*b+b^2;

c=Factor(-B/(2*A));

% Après simplifications, expression conjuguée et r^2=3, on a:

c = a*(r-2);

S=Factor(Surf(a,b,c)/2)

% On trouve:

S=(2*r - 3)*(5*r - 9)*(r - 3)/((4*r - 7)*(r - 2));

% Re-simplifications et finalement:

S=6*r;