Hyperbole équilatère, où es-tu ?

Mon cher Tonm
Où as tu vu trois points alignés dans les hypothèses de Yann?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

C'est parfaitement clair, $4$ points quelconques, en position générale.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour

Tout dépend de ce qu'on a le droit d'utiliser, par exemple, le théorème
Un conique passant par $3$ points $A,B,C$ non alignés est une hyperbole équilatère si et seulement si elle passe également par l'orthocentre du triangle $ABC$.

Cordialement,
Rescassol

Peut-être il fallait dire démontrer l'unicité d'une hyperbole équilatère passant par 4 points donnés distincts.
Désolé.
Bonne journée.

Je voudrais séparer existence et unicité 8-)
Non, par exemple si on sait que cette hyperbole existe ou bien on prend $P$ hyperbole équilatère et on prend 4 points distincts y appartenant alors ne faut-il pas démontrer que celle là est l'unique hyperbole équilatère passant par ces 4 points distincts ?
C'est ce que j'ai compris moi, modestement ça veux dire quoi les points en général ?
Il y a des choses qui me sont inconnues ?

Bonjour,

$4$ orthocentres et conique définie par $5$ points, plus qu'il n'en faut.

Cordialement,

Rescassol

Merci Poulbot
Il va falloir que je trouve une explication de ta magnifique cnstruction
Quant à moi, j'utilise le résultat suivant:
Le lieu des centres des hyperboles équilatères inscrites dans un triangle est le cercle polaire de ce triangle.
Donc partant de mon quadrilatère complet rouge de ma figure, je trace les quatre cercles polaires adéquats au moyen d'une macro.
Je me suis arrangé pour qu'ils soient tous réels.
On montre (encore faut-il le faire!) que ces quatre cercles forment un faisceau.
Et si ce faisceau est à points de base, ces deux points de base fournissent deux centres et donc deux hyperboles équilatères.
D'où la figure plus ou moins imbaisable ci-dessous obtenue à l'aide d'une macro traçant une conique inscrite dont on connait le centre
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
Une petite justification :
- $ABC$, par exemple, étant autopolaire par rapport à son cercle polaire, ce cercle est orthogonal à tout cercle de diamètre un segment d'extrémités un des sommets de $ABC$ et un point du côté opposé
- Idem pour les $3$ autres cercles polaires
- Si $A^{\prime }=BV\cap CW,B^{\prime }=CW\cap AU,C^{\prime }=AU\cap BV$, on a $\left( A,U,B^{\prime },C^{\prime }\right) =\left( B,V,C^{\prime },A^{\prime }\right) =\left( C,W,A^{\prime },B^{\prime }\right) =-1$ et le cercle $A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$ est bien orthogonal aux cercles de diamètres $\left[ AU\right] ,\left[ BV\right] $ et $\left[ CW\right] $
Amicalement. Poulbot

Merci GaBuZoMeu de nous rappeler les charmes désuets de ces antiques constructions de la théorie des coniques projectives basées sur la théorie de l'involution. Même si elles peuvent paraître compliquées, elles ont toujours leur intérêt, ne serait-ce qu'en nous remémorant des pans entiers d'une géométrie oubliée!
L'hyperbole équilatère a ceci de particulier qu'on peut toujours trouver des solutions élémentaires aux nombreux problèmes de constructions qu'elle pose.
Et celui de la construction de l'hyperbole équilatère passant par quatre points (en position plus que générale, n'est-ce pas Tonm?) est le plus célèbre.
On commence évidemment par étudier l'ensemble des hyperboles équilatères passant par trois points.
Cela secrète d'innombrables problèmes qu'on peut trouver dans le Lebossé-Hémery et qui font intervenir tout le florilège de la géométrie du triangle, (voir le Lebossé-Hémery ou bien le Collet-Griso sur le cercle d'Euler).
On y apprend que toute hyperbole équilatère passant par les sommets d'un triangle passe aussi par son orthocentre.
On ne pouvait le dire en classe de Mathématiques mais en Taupe on comprenait qu'elles formaient un faisceau linéaire d'hyperboles équilatères passant par les quatre sommets d'un quadrangle orthocentrique.
Eh oui, Tonm!
Quand les quatre points donnés forment un quadrangle orthocentrique, il y a une infinité d'hyperboles équilatères passant par ces quatre points!
Pour récupérer l'unicité, il faut donc supposer que les quatre points donnés ne forment pas un quadrangle orthocentrique, n'est-ce pas Tonm?
Après ce petit intermède orthocentrique, on s'intéressait au lieu des centres de ces hyperboles équilatères passant par trois points.
En Taupe, on apprenait que le lieu des centres de coniques passant par quatre points était la fameuse conique des neuf points.
Cela se prouvait par la géométrie analytique ou bien par des techniques propres à la théorie des coniques projectives si chère à GaBuZoMeu.
Dans le cas d'un quadrangle orthocentrique, cette conique des neuf points devient un cercle, le cercle des neuf points commun aux quatre triangles qu'on peut former avec trois des quatre points du quadrangle orthocentique.
N'est-ce pas l'épectase?
En classe de Mathématiques, cela pouvait se prouver par une banale chasse aux angles orientés, ce qu'on ne peut plus faire aujourd'hui puisque l'enseignement de ces angles a été abandonné, sauf dans une toute petite partie très précise et bien délimitée du cours de géométrie, laquelle? C'est une petite colle et quand vous aurez la réponse, vous comprendrez pourquoi on est bien forcé d'en parler même sans les nommer!
Donc en revenant au problème de la construction de l'unique hyperbole équilatère passant par quatre points ne formant pas un quadrangle orthocentrique, on est amené à tracer les quatre cercles d'Euler relatifs aux quatre triangles formés en prenant trois des quatre points.
Miracle des miracles, ces quatre cercles ont un point commun $O\ $ qui est le centre de l'hyperbole équilatère qu'on cherche à construire.
Il ne reste plus qu'à construire les asymptotes pour la déterminer entièrement.
C'est ce qu'a fait GaBuZoMeu mais son argument était évidemment impossible à utiliser en classe de Mathématiques.
Eh bien, on pouvait s'en tirer beaucoup plus simplement, oui mais comment?
Pensez au problème de la construction d'une hyperbole équilatère donnée par deux points et son centre!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Rescassol
Regarde déjà le cas du polynôme:
$$(X-a)(X-b)(X-c)(X-d)\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour
A propos de la question de Yannguyen sur les hyperboles équilatères tangentes à $4$ droites données et le fait que leurs centres sont les points communs à la droite de Newton et au cercle circonscrit au triangle diagonal, il me semblait avoir vu cela il y a longtemps dans un article très ancien. En cherchant du côté de l'inévitable Poncelet, je viens de le retrouver.
Voir ICI pages $210+$
Amicalement. Poulbot