Une belle « octite (?) »

Bonjour

Ou encore :
$$x^2(x^2+y^2)^2 - 2x(x^2+y^2)^2 -(5x^4+4x^2y^2+3y^4) \\
+4x(x^2-y^2) + (7x^2+10y^2) - 2x - 3=0.
$$ Cordialement,
Rescassol

Edit: Une typo.

Bonjour,

Voilà mon code:

% Léon Claude Joseph - 05 Mai 2021 - Une belle « octite (?) »

clear all, clc

a=-1;  % Les points A et B sont fixes
b=1;

aB=-1; % Conjugués
bB=1;

syms z zB % Le point C est variable

%-----------------------------------------------------------------------

h=(z+zB)/2; % H est le projeté de C sur (AB)
hB=h;

[o oB]=CentreCercleCirconscrit(a,b,z,aB,bB,zB); % O est le centre du cercle ABC
[k kB]=ProjectionPointDroite(b,a,o,bB,aB,oB); % K est le projeté de B sur (AC)1

% On trouve:

o=(1-z*zB)/(z-zB);
k=-(z+1)*(zB-1)/((z-1)*(zB+1));

BH2=(h-b)*(hB-bB); % Carré de la longueur BH
BK2=(k-b)*(kB-bB); % Carré de la longueur BK

Eq=numden(Factor(BH2-BK2)); % On écrit que BH^2=BK^2
Eq=collect(Eq,[z zB])

Tu trouvais bien une sextique aussi.
D'ailleurs nos deux équations, après interversion de $x$ et $y$, se ressemblent beaucoup, mais ce n'est pas la même.
Je vais regarder ton supplément.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Après calculs, je retombe sur la même équation.
Il semblerait que $B$ soit un point double isolé de la courbe.

Cordialement,

Rescassol

Bonjour,

Je n'ai pas la même équation de degré $6$, c'est normal, je n'ai pas le même repère.
Si j'appelle $F(x,y)=0$ l'équation de ma sextite et $G(x,y)=0$ ton équation, on a $F(x,y)+G(y,-x)=0$, ce qui prouve que nous avons la même courbe.
Par contre, je ne trouve pas une octite pour le point de concours, mais une heptique (?) d'équation $T_7+T_6+T_5+T_4+T_3+T_2+T_1=0$ avec :
$T_7=-x^3y^2(x^2 + 2y^2)$
$T_6=4x^6 + 19x^4y^2 + 30x^2y^4 - xy^6 + 15y^6$
$T_5=2x(x^2 + 3y^2)(2x^2 + 3y^2)$
$T_4=-2(x^2 + y^2)(4x^2 + 7y^2)$
$T_3=-x(8x^2 + 17y^2)$
$T_2=4x^2 + 3y^2$
$T_1=4x$

Cordialement,

Rescassol

Edit: J'ai limpression que $B(1;0)$ est encore point double isolé.