Définition géométrique de l'aire
Bonjour
Dans la géométrie du collège on aime définir les grandeurs de façon géométrique, c'est-à-dire à partir d'ensembles quotients d'objets pour des relations d'équivalence.
Par exemple la grandeur longueur.
D'abord on définit la longueur d'un segment comme une classe d'équivalence de segment pour la relation de superposabilité.
Ensuite on définit la longueur des lignes brisées.
Enfin on définit la longueur des courbes bornées et suffisamment régulières comme borne supérieure des longueurs des lignes brisées inscrites.
Ma question est la suivante : comment construit-on géométriquement la grandeur aire ?
Peut-on le faire à l'aide des polygones et de la relation d'équidécomposabilité (superposabilité après découpage et recollement) ?
Je vous remercie d'avance.
Dans la géométrie du collège on aime définir les grandeurs de façon géométrique, c'est-à-dire à partir d'ensembles quotients d'objets pour des relations d'équivalence.
Par exemple la grandeur longueur.
D'abord on définit la longueur d'un segment comme une classe d'équivalence de segment pour la relation de superposabilité.
Ensuite on définit la longueur des lignes brisées.
Enfin on définit la longueur des courbes bornées et suffisamment régulières comme borne supérieure des longueurs des lignes brisées inscrites.
Ma question est la suivante : comment construit-on géométriquement la grandeur aire ?
Peut-on le faire à l'aide des polygones et de la relation d'équidécomposabilité (superposabilité après découpage et recollement) ?
Je vous remercie d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Puis on dénombre combien d’unités on peut mettre à l’intérieur de la figure étudiée. Éventuellement on a quelques découpages simples de ladite unité.
Ensuite on définit les choses à partir du rectangle.
Puis vient la définition (qu’on ne voit pas souvent...) :
Soit un segment d’unité de longueur $\ell$.
Alors on définit l’unité d’aire (associée) par l’aire d’un carré de côté mesurant $1 \ \ell$ et on dit que c’est $1 \ \ell^2$.
Le théorème de Boulyai assure que deux polygones sont de même aire si et seulement si ils sont équidécomposables.
Dès lors, sur le modèle des longueurs, je serais tenté de définir l'aire d'un polygone comme la classe d'équivalence des polygones qui lui sont équidecomposables.
Puis, de définir l'aire des parties quarrables comme borne supérieure des aires des polygones inscrits.
Cela peut-il tenir la route ?
C'est possible d'avoir l'adresse du collège ?
e.v.
Mais mine de rien des cours comme ça, qui passent très bien, existent.
—-
Définition : deux segments ont la même longueur signifie qu’ils sont superposables.
—-
On a caché « c’est une relation d’équivalence » et on a triché avec « c’est superposable » qui le se définit pas.
On dit ensuite que pour chaque unité de longueur (ou un « segment référence » ou « segment unité » parfois...enfin bon... bref), on a la mesure d’un segment.
Et on dit « même mesure de longueur » revient à dire « même longueur ».
Puis : bon maintenant les enfants, on va dire longueur à la place de mesure de longueur.
Rappel : au collège, $AB$ n’est pas un réel alors que dans le supérieur c’est un réel (une intégrale).
C’est sûr que c’est lourd.
La seule chose qui m’intéresse dans cette histoire c’est l’idée de comparer des segments « sans nombre ».
En gros, on les met côte à côte.
C’est physique. Moins mathématique dans la pratique puisqu’aucun outil n’est propre.
C’est empirique, en somme.
On cache évidement qu'il s'agit d'une relation d'équivalence, et qu'elle est donnée par un axiome d'action d'un groupe (qui se révèle évidement être celui des isométries) sur le plan, qui donne sens à la superposabilité des figures.
Les segments superposables donnent naissance à la grandeur longueur, les secteurs superposables donnent naissance à la grandeur angle.
Et qu'en est-il de la grandeur aire ? Il est evident que la superposabilité ne suffit plus, d'où mes questions sur l'équidecomposabilité...
Quant à la mesure d'une grandeur, relativement à une unité fixée, on dit que c'est le nombre d'unités qu'elle contient. C'est là un bon moyen d'introduire les nombres décimaux...
Dire qu'ils sont superposable, c'est dire qu'il existe une isométrie qui transforme l'un en l'autre.
Une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs.
C'est un morlaque, non ?
e.v.
Le serpent se mord la queue quand on avale des couleuvres.
Ce n'est qu'apres avoir défini les longueurs, qu'on montre que ces mouvements conservent les longueurs et qu'il s'agit en fait du groupe des isométries du plan (rotations, translations etc...).
Ta phrase est tellement imprécise qu'elle en est fausse.
Heureusement Daniel Perrin est plus précis (et plus clair aussi).
e.v.