Définition géométrique de l'aire

clloud
clloud
dans Géométrie
Bonjour

Dans la géométrie du collège on aime définir les grandeurs de façon géométrique, c'est-à-dire à partir d'ensembles quotients d'objets pour des relations d'équivalence.

Par exemple la grandeur longueur.
D'abord on définit la longueur d'un segment comme une classe d'équivalence de segment pour la relation de superposabilité.
Ensuite on définit la longueur des lignes brisées.
Enfin on définit la longueur des courbes bornées et suffisamment régulières comme borne supérieure des longueurs des lignes brisées inscrites.

Ma question est la suivante : comment construit-on géométriquement la grandeur aire ?

Peut-on le faire à l'aide des polygones et de la relation d'équidécomposabilité (superposabilité après découpage et recollement) ?
Je vous remercie d'avance.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Il me semble que l’idée du collège c’est de partir d’une figure qu’on considère comme unité.
    Puis on dénombre combien d’unités on peut mettre à l’intérieur de la figure étudiée. Éventuellement on a quelques découpages simples de ladite unité.

    Ensuite on définit les choses à partir du rectangle.

    Puis vient la définition (qu’on ne voit pas souvent...) :
    Soit un segment d’unité de longueur $\ell$.
    Alors on définit l’unité d’aire (associée) par l’aire d’un carré de côté mesurant $1 \ \ell$ et on dit que c’est $1 \ \ell^2$.
  • clloud
    clloud
    Effectivement, c'est ce que l'on fait avec les élèves. Cependant, mon souci est plutôt de trouver une justification théorique à tout cela.

    Le théorème de Boulyai assure que deux polygones sont de même aire si et seulement si ils sont équidécomposables.

    Dès lors, sur le modèle des longueurs, je serais tenté de définir l'aire d'un polygone comme la classe d'équivalence des polygones qui lui sont équidecomposables.
    Puis, de définir l'aire des parties quarrables comme borne supérieure des aires des polygones inscrits.

    Cela peut-il tenir la route ?
  • ev
    ev
    clloud a écrit:
    Dans la géométrie du collège on aime définir les grandeurs (...) à partir d'ensembles quotients d'objets pour des relations d'équivalence.

    C'est possible d'avoir l'adresse du collège ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Dom
    Dom
    Haha ev,

    Mais mine de rien des cours comme ça, qui passent très bien, existent.

    —-
    Définition : deux segments ont la même longueur signifie qu’ils sont superposables.
    —-
    On a caché « c’est une relation d’équivalence » et on a triché avec « c’est superposable » qui le se définit pas.

    On dit ensuite que pour chaque unité de longueur (ou un « segment référence » ou « segment unité » parfois...enfin bon... bref), on a la mesure d’un segment.
    Et on dit « même mesure de longueur » revient à dire « même longueur ».
    Puis : bon maintenant les enfants, on va dire longueur à la place de mesure de longueur.

    Rappel : au collège, $AB$ n’est pas un réel alors que dans le supérieur c’est un réel (une intégrale).

    C’est sûr que c’est lourd.
    La seule chose qui m’intéresse dans cette histoire c’est l’idée de comparer des segments « sans nombre ».
    En gros, on les met côte à côte.
    C’est physique. Moins mathématique dans la pratique puisqu’aucun outil n’est propre.
    C’est empirique, en somme.
  • clloud
    clloud
    Merci pour le sarcasme ev.

    On cache évidement qu'il s'agit d'une relation d'équivalence, et qu'elle est donnée par un axiome d'action d'un groupe (qui se révèle évidement être celui des isométries) sur le plan, qui donne sens à la superposabilité des figures.

    Les segments superposables donnent naissance à la grandeur longueur, les secteurs superposables donnent naissance à la grandeur angle.

    Et qu'en est-il de la grandeur aire ? Il est evident que la superposabilité ne suffit plus, d'où mes questions sur l'équidecomposabilité...

    Quant à la mesure d'une grandeur, relativement à une unité fixée, on dit que c'est le nombre d'unités qu'elle contient. C'est là un bon moyen d'introduire les nombres décimaux...
  • ev
    ev
    Définition : deux segments ont la même longueur signifie qu’ils sont superposables.

    Dire qu'ils sont superposable, c'est dire qu'il existe une isométrie qui transforme l'un en l'autre.

    Une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs.

    C'est un morlaque, non ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Dom
    Dom
    Que veux-tu ?!
    Le serpent se mord la queue quand on avale des couleuvres.
  • clloud
    clloud
    Pas si l'on postule sur le plan l'action d'un groupe de bijection, qu'on appelle mouvements, entre autres simplement transitive sur les points, demi-droites et demi-plans (je renvoie vers Des axiomes pour la géométrie du collège pour plus de précisions. Puis qu'on dit que deux figures sont superposables s'il existe un mouvement qui envoie l'une sur l'autre.

    Ce n'est qu'apres avoir défini les longueurs, qu'on montre que ces mouvements conservent les longueurs et qu'il s'agit en fait du groupe des isométries du plan (rotations, translations etc...).
  • ev
    ev
    clloud a écrit:
    l'action d'un groupe de bijection, (...) entre autres simplement transitive sur les points, demi-droites et demi-plans

    Ta phrase est tellement imprécise qu'elle en est fausse.

    Heureusement Daniel Perrin est plus précis (et plus clair aussi).

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


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