Angle dièdre entre deux plans

tgbne
tgbne
dans Géométrie
Bonjour,
je dois donner les équations cartésiennes explicites de deux plans s'intersectant exactement en une droite commune, et formant un angle dièdre de pi/3. Vérifiez que votre exemple satisfait ces propriétés.

Mon raisonnement. J'introduis deux plans P et P' d'équations respectives ax + by + cz + d = 0 et a'x + b'y+ c'z + d = 0. Je pensais ensuite d'écrire a' = eipi/3a, b' = eipi3b, c' = eipi/3c
et donc :

(P) : ax + by + cz + d = 0
(P') : eipi/3ax + eipi/3by + eipi/3cz + d = 0

Mais je ne sais pas vraiment si ça répond à la question ? Quel est le bon raisonnement à avoir ?
Je vous remercie.

Réponses

  • pappus
    pappus
    Mon cher gbne
    C'est du grand n'importe quoi!
    Tu dois quand même réfléchir à ce que tu écris!
    Tu me laisses l'impression de répondre au petit bonheur la chance!
    Apprends ton cours!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Bonsoir,

    Tu peux penser aux vecteurs normaux aux plans. Quel rapport entre l'angle dièdre des deux plans et l'angle entre les deux vecteurs normaux ?
    Quel rapport entre l'équation d'un plan et un vecteur normal au plan ?
  • tgbne
    tgbne
    Faut-il que j'exprime par des matrices ?

    (a' b' c') = Mrot(a b c)
    avec les matrices (a' b' c'), (a b c) de M3(R) et 
    M[sub]rot[/sub] = (1                    0               0
        0             cos(pi/3)       -sin(pi/3)
        0             sin(pi/3)        cos(pi/3))
    la matrice de rotation d'angle pi/3 autour de l'axe x.
  • brian
    brian
    Tu devrais vraiment lire tout ce qu'a écrit GaBuZoMeu... et peut-être faire un dessin, aussi.

    Edit : enfin, ce que je veux dire, c'est que ce que tu as écrit ne permet pas de savoir si tu comprends ce que tu fais.
  • tgbne
    tgbne
    La normale d'un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 avec a,b,c,d des réels, c'est le vecteur (a,b,c).

    Donc le plan d'équation a'x + b'y + c'z + d' = 0 qui fait un angle dièdre de pi/3 avec le plan d'équation ax + by + cz + d = 0, sa normale (a', b',c') fait un angle pi/3 avec le vecteur (a,b,c).

    Ca peut paraître trivial mais comment j'exprime a', b' et c' en fonction de a, b et c ?
  • brian
    brian
    OK, c'est déjà beaucoup plus clair. Il faudrait à mon avis dire « un vecteur normal » plutôt que « la normale ». Il faudrait peut-être se donner un repère orthonormé, éventuellement direct, $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k})$ et parler de $a\vec{\imath} + b\vec{\jmath} + c\vec{k}$ au lieu du « vecteur » $(a,b,c)$... sauf si ton énoncé dit que tu travailles dans $\R^3$.

    Pour ta question sur $a'$, $b'$ et $c'$, tu peux utiliser une matrice comme tu l'as proposé plus haut, mais comme on te demande de donner un exemple de deux plans tels que (...), le plus simple à mon avis est de faire une petite figure dans un plan muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{\imath}, \vec{\jmath})$. Tu dois pouvoir déterminer très facilement les composantes dans ce repère de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ applique $\vec{\imath}$ sur $\vec{u}$ et $\vec{\jmath}$ sur $\vec{v}$. Une fois que tu as ça, tu le plonges dans un espace de dimension 3 (i.e., tu ajoutes la direction perpendiculaire à $\vec{\imath}$ et à $\vec{\jmath}$) et c'est fini.
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