Existence de deux points

Ludwig
Ludwig
dans Géométrie
Bonjour,

Soient $A$ et $B$ deux points fixés du plan. $M$ et $N$ sont deux autres points, variables.
À partir des longueurs du triangle $AMN$ je calcule un nombre, mettons de façon polynomiale,
comme par exemple $f(A,M,N)=5AM^3-3AN^7+MN^2$.

Est-il vrai qu'il existe toujours au moins deux points $m$ et $n$ pour lesquels $f(A,m,n)=f(B,m,n)$ ?
Et si j'ajoute un troisième point $C$, peut-on encore trouver $m$ et $n$ tels que $f(A,m,n)=f(B,m,n)=f(C,m,n)$?

Combien faudrait-il ajouter de points pour qu'il ne soit plus possible de trouver $m$ et $n$ ?

Réponses

  • Tonm
    Tonm
    Bonjour, ce qui est sûr si $M=N$ est sur la médiatrice de $[AB]$ les polynômes sont égaux.
  • Ludwig
    Ludwig
    Ce n'est pas vraiment le chemin que je voudrais suivre, car je pars du polynôme, et non pas de $m$ et $n$, qu'il s'agit de trouver.
    Une petite recherche expérimentale avec GeoGebra a fortement tendance à me dire qu'à partir de cinq points, ça coince.
  • Ludwig
    Ludwig
    Ah oui d'accord Tonm, je n'avais pas compris ce que tu as écrit, c'est donc vrai trivialement dans le cas de deux points.
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonsoir, Ludwig,
    Dans le cas de deux points A et B, toutes les paires de points (M, N) symétriques par rapport à la médiatrice de AB conviennent, puisque l'on a alors AM = BN et AN = BM, et le trapèze ABNM est isocèle (croisé ou non). C'est bien ce que disait Tonm, d'ailleurs ...
    D'autre part, dans le problème tel que tu le poses, il me semble que la longueur MN n'est qu'une constante dans ton polynôme, n'est-ce pas ? On peut donc ne pas en tenir compte ...
    Par ailleurs, j'ai l'impression qu'à partir de trois points A, B et C, si on reste dans le cas des fonctions polynomiales, l'existence de 2 points M et N tels que $f(A,m,n)=f(B,m,n)=f(C,m,n)$ dépend des coefficients de $f$, non ?
    Il faut discuter de la possibilité de trouver, pour des exposants m et n donnés, des coefficients p et q tels que
    p.AMm + q.ANn = p.BMm + q.BNn = p.CMm + q.CNn
    Et ça, c'est largement au-dessus de mon niveau, je le crains !
    Bien cordialement
    JLB
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Bonjour
    jelobreuil a écrit:
    toutes les paires de points (M, N) symétriques par rapport à la médiatrice de AB conviennent

    Autant les points M et N sur la médiatrice, je validais; autant là, tu vas devoir justifier.

    $f(A,M,N)=5AM^3-3AN^7+MN^2$
    $f(A,M,N)=5BN^3-3BM^7+MN^2$
    $f(B,M,N)=5BM^3-3BN^7+MN^2$

    Comment finis-tu pour prouver que $f(A,M,N)=f(B,M,N)$ ?

    :-P
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Ah tiens donc ! Bonjour PLM,
    Cela m'étonnait aussi de ne plus te voir semer tes grains de sel un tantinet impertinents sur ce forum !
    J'en conviens bien volontiers, mon assertion, trop rapidement formulée, n'est valable que pour une fonction symétrique par rapport à M et N ! Sommes-nous d'accord là-dessus ?
    Bien cordialement
    JLB
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Oui.

    Tiens, en parlant de symétrie, si on trouve 2 points M et N solutions (dans le cas général), leurs symétriques M' et N' par rapport à la droite (AB) sont aussi solutions.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
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