Deux remarquables perpendiculaires

Bonjour Jean-Louis,

J'utilise les coordonnées barycentriques.

Le triangle de référence:

$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

(O) le cercle circonscrit :

Une équation du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est :

$a^2 y z + b^2 z x + c^2 x y=0.$

E, F deux points resp. de [AC], [AB] :

$E, F \simeq \left[\begin{array}{c} 1 - u\\ 0\\ u\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 1 - v\\ v\\ 0\end{array}\right].$

(R) le cercle circonscrit au triangle AEF :

$(a^2 -(1-u) b^2 -(1-v) c^2) y z+b^2 u x z+c^2 v x y+c^2 (-1 + v) y^2+b^2 (-1 + u) z^2=0.$

Les coordonnées barycentriques du point $R$ centre du cercle circonscrit au triangle AEF sont :

$R \simeq \left[\begin{array}{c} -a^4 - a^2 (b^2 (-2 + u) + c^2 (-2 + v)) + (b - c) (b + c) (b^2 (-1 + u) - c^2 (-1 + v))\\ -b^2 (-a^2 u + b^2 u + c^2 (u - 2 v))\\ -c^2 ((-a^2 + c^2) v + b^2 (-2 u + v))\end{array}\right].$

T le second point d'intersection de (R) et (O) :

$T\simeq \left[\begin{array}{c} -a^2 (-1 + u) (-1 + v)\\ -b^2 (-1 + u) (u - v)\\-c^2 (-1 + v) (-u +v)\end{array}\right].$

G le point d'intersection de (BE) et (CF) :

$G \simeq \left[\begin{array}{c} (-1 + u) (-1 + v)\\ v - u v\\u - u v \end{array}\right].$

U le second point d'intersection de (TG) et (O) :

$U \simeq \left[\begin{array}{c} (b^2 (u - v) + a^2 v) (a^2 u + c^2 (-u + v))\\ (-b^2 (u - v) - a^2 v) (b^2 u + c^2 v)\\ (-a^2 u + c^2 (u - v)) (b^2 u + c^2 v) \end{array}\right].$

K le point d'intersection de (AU) et (BC):

$K \simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ -a^2 v + b^2 (-u + v)\\ -a^2 u + c^2 (u - v)\end{array}\right].$


Question : $(OK)$ est perpendiculaire à $(EF)$ ?

$(OK) : \simeq \left[\begin{array}{c} b^2 u - c^2 v\\ a^2 u + c^2 (-u + v)\\ -a^2 v + b^2 (-u + v)\end{array}\right].$

$(EF) : \simeq \left[\begin{array}{c} -u v\\ u - u v\\ v - u v\end{array}\right].$

On a :

$\left[\begin{array}{c} b^2 u - c^2 v\\ a^2 u + c^2 (-u + v)\\ -a^2 v + b^2 (-u + v)\end{array}\right]\times

\left[\begin{array}{c} 2a^2 & - a^2 - b^2 + c^2 &

- a^2 + b^2 - c^2\\ - a^2 - b^2 + c^2 & 2b^2 & a^2

- b^2 - c^2\\ - a^2 + b^2 - c^2 & a^2 - b^2 - c^2

& 2c^2\end{array}\right] \times

{}^t\left[\begin{array}{c}-u v\\ u - u v\\ v - u v\end{array}\right]=0.$

Ainsi $(OK)$ est perpendiculaire à $(EF)$.

Amicalement

Mon cher JeanLouis
J'aime bien rêvasser longtemps sur tes énigmes sans trouver de solutions la plupart du temps.
Voici le résultat de mes rêveries.
J'espère que cela t'aidera.
Je te rappelle que sur ma figure les droites de même couleur sont parallèles.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Jean-Louis
Je précise un peu ma figure:
Le parallélisme des droites rouges est aisé à prouver via une petite chasse aux angles orientés de droites car il y a plein de points cocycliques sur la figure.
Le point $V$ est le point isogonal du point à l'infini des droites rouges.
Les points $A'$, $U$, $V$ sont alignés où le quadrilatère $ABA'C\ $ est un parallélogramme
Les six points $A$, $B$, $C$,$ A'$, $G$, $U$ sont sur une même conique.
Amicalement
[small]p[/small]appus