Coniques inscrites

Bonjour Gai Requin
Ce problème de points fixes t'obsède et c'est normal.
On y viendra en temps utile.
Mais pour le résoudre, il faut bien maîtriser la notion de conique inscrite.
On travaille donc dans le plan affine complété projectivement en coordonnées barycentriques homogènes par rapport à un triangle de référence $ABC.\qquad$
Maintenant on se donne une conique inscrite dans le triangle $ABC.\qquad$
Qu'est-ce que cela veut dire exactement et comment se la donner analytiquement de la façon la plus simple possible?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bravo Gai Requin
Tu considères une conique inscrite comme une conique tangentielle dont les éléments sont des droites et non comme une conique ponctuelle dont les éléments dont des points
Je vois que tu emploies des majuscules $(U:V:W)$ mais les minuscules ne m'auraient pas dérangé!
Rappelons qu'une conique ponctuelle est l'ensemble des points $M(x:y:z)$ dont les coordonnées annulent une certaine forme quadratique:
$$Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dxz+2Eyz+Fz^2=0\qquad$$
J'ai fait exprès de reprendre les notations de nos anciens.
Pour les droites, c'est la même chose
Une droite $L$ aune équation homogène de la forme:
$$ux+vy+wz=0\qquad$$
On dit ou plutôt on disait que les composantes de $(u:v:w)$ sont les coordonnées tangentielles de la droite $L$.
On voit ainsi apparaître en filigrane la dualité entre points et droites
Une conique tangentielle est donc un ensemble de droites $L(u:v:w)\ $ dont les coordonnées tangentielles annulent une certaine forme quadratique:
$$au^2+2buv+cw^2+2duw+2evw+fw^2=0\qquad$$
Là aussi j'ai repris les notations de nos anciens.
On voit aisément que les côtés du triangle $ABC\ $appartiennent à une conique tangentielle si et seulement si les termes carrés disparaissent et on tombe sur l'équation que tu nous as donnée que je réécrirai plutôt sous la forme:
$$\lambda vw+\mu wu+\nu uv=0\qquad$$
Ces coniques inscrites forment donc un plan dans l'espace projectif des coniques tangentielles projectives.
Nos anciens parlaient plutôt de réseau de coniques tangentielles.
La matrice associée à cette conique est donc:
$$\begin{pmatrix}
0&\nu&\mu\\
\nu&0&\lambda\\
\mu&\lambda&0
\end{pmatrix}
\qquad
$$
D'un point de vue projectif, la première qu'on se pose est la suivante:
Quand cette conique est elle décomposée ou non?
Et comment se présente sur l'écran une conique tangentielle inscrite décomposée ou non décomposée?
Amicalement
[small]p[small]appus

Bonsoir Gai Requin
Deux faisceaux de droites? C'est un peu vague!
Peux-tu préciser?
Amicalement
[small][/small]appus

Mon cher Gai Requin
Tu fais ce que tu veux mais la moindre figure me semble préférable au néant
La figure ci-dessous montre ce que j'entends par conique tangentielle inscrite non décomposée (ou propre).
Peux-tu me faire une figure analogue pour une conique tangentielle inscrite décomposée?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Gai Requin
Voici la figure correspondante.
Evidemment on préfère appeler conique inscrite les coniques tangentielles inscrites propres, surtout parce qu'on a une bijection naturelle entre coniques ponctuelles et tangentielles propres, bijection qu'on devine sur ma dernière figure.
Etant donnée la conique tangentielle inscrite propre d'équation:
$$\lambda vw+\mu wu+\nu uv=0\qquad$$
quelle est la conique ponctuelle qui lui est attachée?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Gai Requin
1° Ton équation est exacte mais ce qui m'intéresse, c'est la façon dont tu l'as obtenue!!!!!!
2° On en a pas besoin pour calculer les coordonnées des points de contact!!!!!
Ca t'en bouche un coin?
Remarque qu'il n'est pas interdit de se servir de l'équation ponctuelle pour les exhiber!!
Mais ça fait un peu péquenot!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Gai Requin
Tes calculs sont exacts, il est vrai qu'ils ne volent pas très haut.
Je vais vérifier maintenant si tu sais ton cours sur les coniques projectives
J'ai une droite $L$ d'équation homogène:
$$ux+vy+wz=0\qquad$$
Je fais opérer la matrice de ma conique tangentielle inscrite sur le vecteur $(u:v:w)$:
$$\begin{pmatrix}
0&\nu&\mu\\
\nu&0&\lambda\\
\mu&\lambda&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\nu v+\mu w\\
\nu u+\lambda w\\
\mu u+\lambda v
\end{pmatrix}
\qquad
$$
Quelle est la signification géométrique du point $M(\nu v+\mu w:\nu u+\lambda w:\mu u+\lambda v)$ par rapport à la droite $L?\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bravo Gai Requin!
Quelles sont alors les coordonnées du perspecteur de la conique et de son isotomique?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je vais aller faire un dodo bien mérité .
On continuera demain!
Passe une bonne nuit et fais de beaux reves!

Bonjour Gai Requin
Cela m'a amusé de voir la discussion dériver vers l'isotomie qui n'est pas le sujet principal de ce fil.
Pourquoi n'envoies-tu pas de figure?
C'est toujours moi qui doit faire cette petite corvée
La question suivante vient d'elle même.
On travaille dans le plan affine (complété projectivement):
Quand la conique $\Gamma$ est-elle une ellipse, une hyperbole, une parabole?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Il me semble que Pierre appelait sur notre forum $\Omega^*$ le point de service!

Mon cherGai Requin
Ce qui est amusant, c'est que tu paramètres la situation avec le point de service $\Omega^*$, il est vrai que ses coordonnées sont simples $(\lambda:\mu:\nu)\qquad$
Mais il est plus naturel géométriquement de paramétrer avec le perspecteur $\Omega$ qui est lié directement aux points de contacts.
D'autre part tu procèdes plus par affirmation que par démonstration!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Gai Requin
Il y a la partie calcul et la partie géométrique, chacune se nourrissant l'une de l'autre.
Géométriquement le perspecteur est plus naturel que son isotomique puisqu'il donne un accès direct aux points de contacts.
Tout ce que tu dis est vrai mais je reste un peu sur ma faim.
Tu procèdes toujours plus ou moins par affirmation.
Il est clair que l'ellipse de Steiner circonscrite sert de séparatrice entre ellipses et hyperboles mais il faut être plus précis!
Enfin dans le cas des coniques à centre, il faut placer le centre sur la figure!
Amicalement
[small]p[/small]appus
.

Merci Gai Requin
On y vient petit à petit et tu aurais dû commencer par là!!!
Ce qui est certain, c'est que le pôle de la droite de l'infini est dans tous les cas de figure, le point $O$ de coordonnées $(\mu+\nu:\nu+\lambda:\lambda +\mu)$
Quand ce point n'est pas sur la droite de l'infini, ce qui lui arrive si et seulement si $\lambda+\mu+\nu\not =0$, il a droit au nom glorieux de centre de la conique et il n'est pas interdit de le placer sur la figure à côté de ses deux compères $\Omega\ $ et $\Omega^*.\qquad$.
Ce que tu n'as pas fait.
Quand $\lambda+\mu+\nu=0$, le point $\Omega^*\ $ se trouve sur la droite de l'infini et son isotomique $\Omega\ $ est quelque part sur l'ellipse de Steiner circonscrite.
Il est alors clair que $O =\Omega^*$ n'est plus un centre puisque tout centre digne de ce nom est situé dans le plan affine.
La conique inscrite est une parabole et le point $O$ rétrograde à la situation de direction asymptotique.
Il reste deux choses à éclaircir:
1° Séparer correctement les ellipses des hyperboles!
2° Dans le cas des coniques à centre, donner une construction du centre qui soit presque compréhensible par les sectateurs de l'axiome de Thalès!
Ce que tu dis sur les points fixes est exact, je vois que tu piaffes d'impatience et on y reviendra en son temps.
Mais comme d'habitude ce sont les cas particuliers qui sont intéressants c'est à dire les cas sans point fixe et lescas avec une infinité de points fixes!
Donc avant de gouter aux sucreries des points fixes, il me faut répondre à ces deux questions!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Gai Requin pour tes quelques calculs!
Je t'ai toujours dit qu'il y avait un dialogue permanent entre calculs et géométrie!!!
Compte tenu de tes quelques calculs, la transformation $O \mapsto \Omega^*\ $ porte un nom!
Quel est ce nom?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Rescassol.
On peut dire que ta figure est le minimum minimorum à savoir sur les coniques inscrites en géométries projective et affine.
Il reste l'aspect euclidien beaucoup plus délicat et que je ne connais pas très bien comme par exemple calculer l'excentricité de la conique, exhiber foyers, directrice , sommets, etc....
Il me souvient, il n'y a pas si longtemps encore, m'être donné un mal de chien à calculer l'équation du cercle orthoptique d'une conique inscrite, fournie sans justification aucune dans le JDE!
Sur tous ces sujets des coniques inscrites et circonscrites, prière de lire l'indispensable glossaire de Pierre!.
On peut maintenant s'attaquer à ce problème de points fixes, attendu par Gai Requin, qui en a déjà donné des réponses partielles!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Ga i Requin
Comme je te l'ai cent fois dit, il y a la partie calcul dans laquelle je vois que tu te débrouilles très bien et la partie géométrique dans laquelle tu me parais plus faible.
Dans le cas particulier que tu étudies, quelle est la nature de la transformation affine $ABC\mapsto abc?\qquad$
ou pour parler comme Nicolas Bourbaki, quelle est sa classe de conjugaison dans le groupe affine?
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Gai Requin
C'est le plus important et tu me le dis seulement maintenant!
Maintenant vient le moment de vérité!
Les calculs sont terminés!
Sur l'écran de ton ordinateur, tu as la figure ci-dessous:
Un triangle $ABC\ $ et les segments parallèles $Aa\ $, $Bb\ $, $Cc.\qquad$
Tu me reconstitues la figure: conique inscrite et ses éléments de réduction affines, centre, etc...ainsi que l'affinité de rapport $-2$, axe, etc...en m'expliquant succinctement comment tu procèdes!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Je ne suis pas satisfait aussi de la manière dont tu as traité le cas général où il y a un unique point fixe!

Bonjour à tous
On a vu que le triangle des contacts $abc$ d'une conique inscrite $\Gamma\ $ est le triangle cévien de son perspecteur $\Omega$, il me semble donc plus naturel pour l'étude des points fixes de l'application affine: $f:ABC\mapsto abc\ $ de paramétrer par les coordonnées de $\Omega(\alpha:\beta:\gamma\ $ que par celles de son isotomique: $\Omega^*(\lambda:\mu:\nu)\ $ comme nous l'avions fait dans l'étude de la conique inscrite $\Gamma\ $ d'équation tangentielle:
$$\lambda vw+\mu wu+\nu uv=0\ $$ quitte à garder dans un petit coin de notre tête, les relations:
$$\alpha\lambda=\beta\mu=\gamma\nu\qquad$$
La matrice de $f$ dans le repère affine $AB$ s'écrit donc:
$$
M=
\begin{pmatrix}
0&\dfrac{\alpha}{\gamma+\alpha}&\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\\
\dfrac{\beta}{\beta+\gamma}&0&\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\
\dfrac{\gamma}{\beta+\gamma}&\dfrac{\gamma}{\gamma+\alpha}&0
\end{pmatrix}
\qquad
$$
dont le polynôme caractéristique est:
$$(X-1)(X^2+X +\dfrac{2\alpha\beta\gamma}{(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)})\qquad$$
Comme vient de le dire Gai Requin et comme je l'ai maintes fois seriné, $f$ aura un unique point fixe si et seulement si $1$ est valeur propre simple du polynôme caractéristique précédent c'est à dire si et seulement si:
$$2+\dfrac{2\alpha\beta\gamma}{(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}=\dfrac{2(\alpha+\beta+\gamma)(\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta)}{(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)(\alpha+\beta)}\not =0\qquad$$
La relation
$$\alpha+\beta+\gamma=0\qquad$$
signifie que: $\Omega(\alpha:\beta:\gamma)\ $ est sur la droite de l'infini
et la relation:
$$\beta\gamma+\gamma\alpha+\alpha\beta=0\qquad$$
signifie que: $\Omega(\alpha:\beta:\gamma)\ $ est sur l'ellipse de Steiner circonscrite.
Donc si le perspecteur $\Omega$ n'est ni sur la droite de l'infini ni sur l'ellipse de Steiner circonscrite, $f$ a un unique point fixe $O$. Ses coordonnées forment un vecteur propre de la matrice $M$ pour la valeur propre $1$ c'est-à-dire:
$$\big(\alpha(\beta+\gamma):\beta(\gamma+\alpha):\gamma(\alpha+\beta)\big)=\big(\mu+\nu:\nu+\lambda:\lambda+\mu)\qquad$$
On l'a vu, $O$ est le centre de la conique inscrite $\Gamma$
On a vu qu'on disposait d'une construction du point $O$ comme complément de l'isotomique du perspecteur $\Omega$ mais on a une construction plus simple et plus directe de $O$ suggérée sur la figure ci-dessous:
Le point fixe $O$ est à l'intersection des médianes $Aa'\ $, $Bb'\ $, $Cc'\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Petite colle technique:
$\Omega\ $ et $O\ $ sont isotomiques dans le triangle médial $a'b'c'\ $ du triangle des contacts $abc.\qquad$