Triangle quelconque : coordonnées du 3e point
Bonjour
J'aimerais de l'aide pour un problème, je pense que je suis au bon endroit.
Voilà, j'ai un triangle (quelconque) dont je connais les 3 longueurs.
Je connais les coordonnées (2D) de 2 points, je voudrais connaître les coordonnées du 3e point.
Je pense que je passe à coté de quelques chose, parce que je galère à résoudre mon problème.
Pouvez-vous m'aider ?
Triangle GKN : G en bas, K a droite & N a gauche.
Xg = 1904.96
Yg = 142.93
Xk = 2040.78
Yk = 292.87
GK = 202.3 (vous confirmez ?)
GN = 329.26
KN = 202.16
Xn = ?
Yn = ?
Je ne cherche pas la valeur, mais l'équation.
Normalement, par méthode graphique, ca doit donner :
Xn = 1943.27
Yn = 469.95
Merci d'avance.
J'aimerais de l'aide pour un problème, je pense que je suis au bon endroit.
Voilà, j'ai un triangle (quelconque) dont je connais les 3 longueurs.
Je connais les coordonnées (2D) de 2 points, je voudrais connaître les coordonnées du 3e point.
Je pense que je passe à coté de quelques chose, parce que je galère à résoudre mon problème.
Pouvez-vous m'aider ?
Triangle GKN : G en bas, K a droite & N a gauche.
Xg = 1904.96
Yg = 142.93
Xk = 2040.78
Yk = 292.87
GK = 202.3 (vous confirmez ?)
GN = 329.26
KN = 202.16
Xn = ?
Yn = ?
Je ne cherche pas la valeur, mais l'équation.
Normalement, par méthode graphique, ca doit donner :
Xn = 1943.27
Yn = 469.95
Merci d'avance.
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Réponses
Tu peux commencer par écrire une équation du cercle de centre $G$ et de rayon $GN$.
...en fait ça n'a pas l'air si simple, c'est ça ?
Donc logique que je n'y arrive pas :-(
une piste : voir fichier joint .
Cordialement
Mais en tout cas merci pour la piste, car oui, si je fait 2 cercles, le point d'intersection, c'est le point que je cherche.
C'est quoi les fichier .ggb ? je ne connais pas
Je pense que oui, ca va beaucoup m'aider.
Je me remets dessus demain, mais si quelqu'un peut m'aider, ça m'intéresse.
Pour info : c'est pour mon boulot, un calcul de mécanique statique que je souhaite automatiser dans un XLS pour sortir des courbes de capacité de levage (et pas que des valeurs point par point).
Tout d'abord, petite précision : avec les valeurs que tu donnes pour Xg, Yg, Xk et Yk, je trouve GK = 202,31
La valeur exacte est en effet 202,309357...
Dans une repère orthonormé, les équations des deux cercles sont, d'après le théorème de Pythagore,
(X - Xk)2 + (Y - Yk)2 = KN2 (1)
et (X - Xg)2 + (Y - Yg)2 = GN2 (2)
Faisons la différence (2) - (1) : les termes du second degré s'éliminent, et l'on obtient une équation de la forme
ax + by = c, qui est l'équation de la droite reliant les deux points d'intersection des deux cercles.
Je vais l'écrire ici X(Dx) + Y(Dy) = C, avec les expressions suivantes des coefficients :
Dx = (Xk - Xg), Dy = (Yk - Yg), et C = (Xk2 - Xg2 + Yk2 - Yg2 + GN2 - KN2)/2
Il ne reste plus qu'à écrire Y en fonction de X : Y = (C - X.Dx)/Dy et à reporter cette expression dans l'équation de l'un des cercles, et l'on obtient une équation du second degré en X, de la forme aX2 + 2bX + c = 0 où les expressions des coefficients sont les suivantes (j'ai choisi l'équation du cercle de centre K) :
a = 1 + (Dx/Dy)2
b = - Xk - C.Dx/(Dy)2
c = Xk2 + Yk2 + (C/Dy)2 - KN2
Les abscisses des deux points d'intersection sont (- b + rac(b2 - ac))/a et (- b - rac(b2 - ac))/a
(rac : racine carrée).
L'une de ces deux valeurs (il ne doit pas être bien difficile de déterminer laquelle, grâce à des considérations physiques) est l'abscisse Xn du point N, et son ordonnée Yn est (C - Xn.Dx)/Dy.
Comme une erreur de signe est vite arrivée, je te conseille de vérifier soigneusement mes calculs !
Je te laisse le soin de faire les calculs numériques ...
Bien cordialement
JLB
J'étais en week-end, je vois cela tout de suite.
Aucune démonstration n'est nécessaire, c'est un sujet pro qui ne cherche que l'efficacité.
Edit : j'ai une racine négative.
b²-ac est négatif.
Je dois avoir fait une erreur mais je ne trouve pas ou.
(arrondis au centième)
Dx, j'ai 135.82
Dy : 149.94
C : 334393.38
a : 1.82
b : -4061.02
c : 9183658.96
ça me donne b²-ac = -227383.16
Et donc je ne sais pas faire la racine.
Je pense que c'est une erreur de signe, mais je ne vois pas où.
Je vais de mon côté reprendre ce calcul, il n'est pas impossible que l'erreur soit de mon fait !
Bien cordialement
JLB
Je continue d'avancer sur mon fichier, si on arrive a résoudre ce problème, ça devrait fonctionner.
Il ne me restera plus qu'une dernière pièce a isoler (réduction des torseurs) et j'aurais un outil vraiment efficace.
Respectueusement
Sylvain.
Compte tenu de cela, les coefficients a, b et c de l'équation du second degré devraient (sauf autre erreur !) s'exprimer ainsi (si on garde les mêmes expressions pour Dx, Dy et C) :
a = 1 + (Dx/Dy)2
b = - Xk + C.Dx/(Dy)2 + Yk.Dx/Dy
c = Xk2 + Yk2 + (C/Dy)2 + 2C.Yk/Dy - KN2
J'espère que cette fois-ci, c'est correct, mais je vais reprendre et revérifier cela cet après-midi, on ne sait jamais !
Bien cordialement, et avec mes profondes excuses pour tous ces inconvénients !
JLB
Il me semble que dans les formules que tu as données dans le fichier joint à ton premier message, l'expression de $a$ devrait plutôt être 1 + (dx/dy)2 ...
Bien cordialement
JLB
Mais après j'ai pas les bonnes coordonnées et je ne vois pas comment géogébra fait le calcul.
C = (Xk2 - Xg2 + Yk2 - Yg2 + GN2 - KN2) / 2 Dy (il manquait le Dy a la fin il me semble.)
a, c'est bon => 1.82
b = 2 ((Yk-C)Dx/Dy-Xk) => -7591.46 chez moi (sans arrondis donc, car direct le tableau XLS)
c = Xk²-KN²+(Yk-C)² => 7877334.47 chez moi (toujours sans arrondis)
donc b & c sont très proches des valeurs de Géogébra.
Encore grand merci pour l'aide, je pense qu'on n'est pas loin.
Un petit souci de parenthèse dans la formule Xn.
Énorme merci.
Chaleureusement
Sylvain.
Ce que j'ai appelé "C" n'est pas égal au "N" des fichiers de fm_31 (contrairement à ce que tu as écrit dans ton dernier message), mais C = N.2Dy (cf. le facteur 2.dy au dénominateur de l'expression de N).
Cette dernière précision permet-elle de lever les derniers doutes ?
Ceci dit, je viens de le vérifier, les expressions données pour a, b et c dans le dernier fichier Geogebra transmis par fm_31 sont bien exactes. Donc, il vaut mieux que tu suives les indications de ce fichier ...
Bien cordialement
JLB
Juste un mot pour vous remercier sincèrement et très chaleureusement.
Mon fichier de calcul avance bien, et les résultats sont exacts.
Je m'en suis très bien sorti en isolant les 2 derniers solides en appliquant la méthodes des 3 forces concourantes (sur ce point, je suis rodé).
Je suis en train de dupliquer le calcul pour obtenir une courbe, mais il n'y a plus qu'un travail d'organisation.
Au niveau calcul, tout est bon et vérifié.
Il y aura une dernière vérification des résultats à la fin du travail, mais tous les jalons sont passés jusqu'ici.
À ce moment on débouchera le champagne.
J’espère avoir bientôt un autre problème pour pouvoir revenir vous solliciter, car vraiment j'aime bien ces travaux mathématiques. Et surtout celui-ci qui a dépassé mes compétences (très modestes ici, j'imagine), mais qu'on a réussi à surmonter rapidement et efficacement.
Et toutes mes excuse à la modération qui corrige mon orthographe déplorable.
[À ton service. :-) AD]
Grand merci.
Quand Dy devient négatif, yN n'est plus bon.
Si je force Dy en positif, je continu a avoir des problèmes.
... et j'ai besoin de valeur avec Dy négatif.
Je connais bien ce problème ayant étudié les intersections géométrique dans le plan cartésien. En fait ce qu'il faut savoir c'est que la méthode algébrique (celle que tu utilises) comporte un défaut, c'est que si les deux cercles sont en mouvement et suivant certaines position de ceux-ci les deux points d'intersection auront tendance à s'inverser. En gros que la première intersection deviendra la seconde et la seconde intersection deviendra la première. Cela viens de la manière dont ont calcule l'équation du second degré.
Si tu veux je peux te fournir une formule qui n'a pas ce défaut mais je ne donnerai pas la démonstration de cette formule. Mais si dans t'on cas seul les coordonnées des points t'intéresse celà ne devrait pas étre un problème.
Si tu veux je peux te fournir une formule qui n'a pas ce défaut mais je ne donnerai pas la démonstration de cette formule. Mais si dans t'on cas seul les coordonnées des points t'intéresse celà ne devrait pas étre un problème.
Je suis complètement dans ce cas, c'est un fichier pro, pour un usage pro.
Aucune démonstration n'est nécessaire, j'ai "simplement" besoin d'un outil performant.
Et donc oui, j'accepte avec plaisir toute l'aide qu'on me propose (j'admets que je suis dépassé par le problème mathématique.)
Je ne dénigre pas du tout le précédent travail (en plus j'ai pris du plaisir a comprendre le cheminement), mais j'ai un problème, car le résultat n'est pas déclinable lorsque la bielle dépasse le point de rotation de l'outil ... ce qui arrive tout le temps quelque soit la hauteur de levage (l'outil a un angle de 186° (via un embiellage) au bout du brancard de levage qui lui s'articule sur un angle de levage de 90° par rapport a la gravité (valeurs arrondis au degré.)
Si vous voulez, je peux vous expliquer l'ensemble du dossier, mais je ne pense pas que ça soit d'une grande aide.
Sur la capture d’écran ci dessous, les points J, N et "F conc balanc' doivent êtres confondus
Ça revient aussi au repère choisis pour appliquer les deux Pythagore qui mènent à la résolution de deux équations de l'intersection des deux cercles.
Un exemple serait plus clair mais les signes règlent la réponse.
On a :
a = ((x(A) - x(B))^2 + (y(A) - y(B))^2)
b = ((x(C) - x(D))^2 + (y(C) - y(D))^2)
c = ((x(A) - x(C))^2 + (y(A) - y(C))^2)
Les coordonnées de la première intersection (1) sont :
x = x(A) + (a - b + c) / (2c) (x(C) - x(A)) - sqrt((a / c) - ((a - b + c) / (2c))^2) (y(C) - y(A))
y = y(A) + (a - b + c) / (2c) (y(C) - y(A)) + sqrt((a / c) - ((a - b + c) / (2c))^2) (x(C) - x(A))
Et pour la seconde intersection (2) :
x = x(A) + (a - b + c) / (2c) (x(C) - x(A)) + sqrt((a / c) - ((a - b + c) / (2c))^2) (y(C) - y(A))
y = y(A) + (a - b + c) / (2c) (y(C) - y(A)) - sqrt((a / c) - ((a - b + c) / (2c))^2) (x(C) - x(A))
À noter que dans t'on cas comme tu connais déjà le rayon des deux cercles, tu peux remplacer (a) par le rayon du cercle AB au carré, donc a = r1^2. Et (b) par le rayon du cercle CD au carré, b = r2^2. Puis renommé A en G et C en K.
PS : désolé si mes notations sont différentes mais je préfère utiliser les miennes pour éviter de faire une erreur dans la formule.
Avec les identificateurs du sujet :
Je rentre cela dans mon fichier des lundi matin (pour l'instant c'est le week-end.)
J'ai encore une racine négative :
(GN/GK)² - (t/(2GK²))² * (Yk-Yg) = -260.65
avec t = 108470.75 (t=GN²-NK²+GK²)
GK : 202.3
GN : 329.26
Yk : 292.87
Yg : 142.93
(donnés identiques au poste original)
A mon avis, il manque un signe entre (t/(2GK²))² et (Yk-Yg), non (ce n'est pas un facteur) ?
PS : ça a été compliqué la semaine au boulot, je n'ai pas pu voir cela plus tôt
La formule réécrite par fm_31 comporte quelque petites erreurs, notamment le fait que la racine aurait dû s'arrêter avant (y(K) - y(G)) et (x(K) - x(G)), les composantes du vecteur GK.
Par contre je vois que tu as calculé le rayon des deux cercles directement à partir de N, tu es sûr que ça ne va pas poser de problème ? Car je te rappelle que tu n'es pas censé connaître N vu que tu cherches à calculer ses coordonnées.
Par contre les point de rotations de ces bielles (G et K) sont mobiles.
G est sur le battis, donc il fait un angle de 90° autour du point B (coordonnées x:0 et y:1770)
K est sur un porte outils qui est rotatif au bout du bâtis en rotation autour du point B.
Mais je connais les coordonnées du point K, car la position de l'outil est une de mes données d'entrée
Je connais les coordonnées (2D) de 2 points, je voudrais connaître les coordonnées du 3e point.
Je pense que je passe à coté de quelques chose, parce que je galère à résoudre mon problème.
Pouvez-vous m'aider ?
Triangle GKN : G en bas, K a droite & N a gauche.
Xg = 1904.96
Yg = 142.93
Xk = 2040.78
Yk = 292.87
GK = 202.3 (vous confirmez ?)
GN = 329.26
KN = 202.16
Xn = ?
Yn = ?
Je ne cherche pas la valeur, mais l'équation.
Normalement, par méthode graphique, ca doit donner :
Xn = 1943.27
Yn = 469.95
Juste un mot pour vous remercier, car pour l'instant tout se passe bien.
La première courbe est sortie et les points vérifiés sont corrects.
Je ne chante pas trop, car la dernière fois, c'est juste après avoir pensé qu'on avait gagné que je me suis rendu compte qu'il y avait un souci de déclinaison.
Mais dans tous les cas, merci beaucoup pour l'aide et le partage.