Droites/cercles: bonnet blanc et blanc bonnet

Daniel Perrin a l'air plutôt bien au courant, et il a écrit un chapitre de 182 pages sur la géométrie anallagmatique.

Je suis tout sauf un expert, mais ça me semble assez roboratif. ((Figuré) Qui stimule la réflexion, enrichit l’esprit)

https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Livregeometrie/DPPartie6.pdf

On y lit :

C’est l’objet d’une leçon de l’agrégation interne (externe aussi ?).

La (les ?) chaîne de Pappus en est une application.

Eh oui, parce qu'en gros, deux cercles tangents, par une transformation de Möbius, c'est la même chose que deux droites parallèles.

Si je sais dessiner une chaîne de Pappus entre deux droites parallèles (donc mettre des cercles de même rayon côte à côte) et que je sais faire la transformation de Möbius au compas, sans doute que je saurai faire une chaîne de Pappus coincée entre deux vrais cercles tangents !

Lorsqu'on identifie le plan euclidien et la sphère privée d'un point via la projection stéréographique, les cercles du plan s'envoient sur des cercles de la sphère (ne passant pas par le point retiré) et les droites s'envoient sur les cercles de la sphère passant par ledit point (cette dernière affirmation est plus simple à comprendre: il s'agit d'intersections entre la sphère et des plans). Tout est bijectif.

Bonjour à tous
Je ne vois pas l'intérêt de débiter des généralités sur la géométrie circulaire.
La meilleure façon de se frotter à une géométrie est encore de mettre les mains dans le cambouis!
Aussi je propose l'exercice suivant trouvé dans le cours de Perrin cité dans ce fil que je vous conseille vivement de télécharger et de lire si vous vous voulez vraiment progresser en géométrie:
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher fm_31
C'est une affirmation purement gratuite.
Et en plus, cerise sur le gâteau, tu ne donnes aucune démonstration!
Comme Perrin le conseille, il faut raisonner par conjugaison en examinant les inversions échangeant les deux cercles donnés.
Mais j'ai l'intuition que personne ne suivra les conseils de Perrin, pas plus que les miens d'ailleurs!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Gai Requin
Toi le brillant algébriste, pourquoi ne conjugues-tu pas comme Perrin te le conseille!
L'idée est la suivante:
Tu prends deux cercles $C_1\ $ et $C_2.\qquad$
Et tu considères une inversion $\sigma: C_1\longleftrightarrow C_2$ échangeant les deux cercles.
Il en existe toujours au moins une d'après le cours du Lebossé-Hémery, confirmé soixante dix ans plus tard pars le cours de Daniel Perrin.
Maintenant tu transformes tout ce fourbi par une transformation circulaire quelconque $g$
Que récupères-tu?
Un premier cercle $C'_1=g(C_1)\ $ et un second cercle $C'_2=g(C_2).\qquad$
Ça, ce n'est pas trop difficile.
Mais surtout on récupère la transformation:
$$\sigma'=g.\sigma.g^{-1}:C'_1\longleftrightarrow C'_2\qquad$$
Il y aurait matière ici à écrire un magnifique diagramme commutatif mais hélas je partirai (bientôt) sans avoir tout appris
En tout cas on sait, d'après le cours de Perrin par exemple mais aussi par ta propre culture que $\sigma'$ est encore une inversion échangeant les cercles $C'_1\ $ et $C'_2\ $.
Et tu sais soit par le Lebossé-Hémery soit par Daniel Perrin que les inversions échangeant deux cercles, il n'y en a pas des masses!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bref, l'ensemble des centres des inversions du problème d'Hadamard-Perrin est l'axe radical de $C_1$ et $C_2$.

Soit $I$ sur l'axe radical de $C_1$ et $C_2$.
L'inversion de pôle $I$ et de rapport la puissance de $I$ par rapport à $C_1$ conserve globalement $C_1$ et $C_2$ ou envoie chacun de ces cercles sur une droite.
Donc $I$ est dans l'ensemble cherché par Perrin.

J'ai effectivement mal compris l'énoncé !

Soit donc $f$ une inversion telle que $f(C_1)$ et $f(C_2)$ aient même rayon ;-)
Soit $\sigma$ une inversion échangeant $C_1$ et $C_2$.
Alors $i=f\circ\sigma\circ f^{-1}$ est une inversion échangeant $f(C_1)$ et $f(C_2)$.
En particulier, on peut choisir $\sigma$ telle que $i$ soit une symétrie axiale, ce qu'on suppose désormais.
Or, si $\Gamma$ est l'ensemble des points fixes de $\sigma$, alors $f(\Gamma)$ est l'ensemble des points fixes de $i$.
Donc $\infty\in f(\Gamma)$ et le pôle de $f$ est sur $\Gamma$.

Ces tracés sont bien connus.

Soit réciproquement $I$ un point de l'ensemble des points fixes d'une inversion positive $\sigma$ échangeant $C_1$ et $C_2$.
Soit $f$ une inversion quelconque de pôle $I$.
Alors $f\circ\sigma\circ f^{-1}$ est une symétrie axiale échangeant $f(C_1)$ et $f(C_2)$ qui ont donc même rayon.

Une orgie de cercles !

L'homothétie négative ne sert à rien dans la construction d'une inversion $f$ répondant au problème de Perrin.

Un exemple d'un autre cas de figure ?

OK, deux inversions positives les échangent dans ce cas-là !
J'ai choisi celle dont le pôle est le centre d'homothétie négative.

En conclusion, l'ensemble des pôles cherchés est la réunion des cercles des inversions positives échangeant $C_1$ et $C_2$ (il y a une ou deux telles inversions).

Bonjour Sylvain,

[Un peu de lecture] :-D