Droites/cercles: bonnet blanc et blanc bonnet
Bonjour,
Je me pose une petite question : peut-on unifier droites et cercles en les appelant des "drocles" définies comme classes d'équivalence sous la relation $A\mathcal{R}B$ ssi les compactifiés d'Alexandrov de $A$ et de $B$ sont isomorphes et représenter ainsi 3 drocles orthogonales deux à deux dans le plan via le cercle unité et les axes des abscisses et des ordonnées ? Peut-on utiliser cette représentation pour étudier une géométrie non représentable dans le plan sans cette identification des droites et des cercles ?
Merci d'avance.
Je me pose une petite question : peut-on unifier droites et cercles en les appelant des "drocles" définies comme classes d'équivalence sous la relation $A\mathcal{R}B$ ssi les compactifiés d'Alexandrov de $A$ et de $B$ sont isomorphes et représenter ainsi 3 drocles orthogonales deux à deux dans le plan via le cercle unité et les axes des abscisses et des ordonnées ? Peut-on utiliser cette représentation pour étudier une géométrie non représentable dans le plan sans cette identification des droites et des cercles ?
Merci d'avance.
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Réponses
Ç'a l'air d'une bonne idée.
Ça ressemble à ce que dit Wikipedia sur la géométrie anallagmatique :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Programme_d'Erlangen#Les_différentes_géométries_à_la_lumière_du_programme_d'Erlangen
Je suis tout sauf un expert, mais ça me semble assez roboratif. ((Figuré) Qui stimule la réflexion, enrichit l’esprit)
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Livregeometrie/DPPartie6.pdf
On y lit :
Il est bien connu qu'une transformation circulaire ($f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ ou $f(z)=\dfrac{a\overline{z}+b}{c\overline{z}+d}$) opère sur les droites-cercles).
Cordialement,
Rescassol
La (les ?) chaîne de Pappus en est une application.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1122015,1122387#msg-1122387
Si je sais dessiner une chaîne de Pappus entre deux droites parallèles (donc mettre des cercles de même rayon côte à côte) et que je sais faire la transformation de Möbius au compas, sans doute que je saurai faire une chaîne de Pappus coincée entre deux vrais cercles tangents !
Le seul point positif de cette logorrhée délirante et sans le moindre intérêt, c’est le cours de Perrin !
Alors j’invite ceux qui sont vraiment motivés à le télécharger et à le lire!
Amicalement
[small]p[/small]appus
On appelle alors plan circulaire le plan euclidien auquel on ajoute $\infty$.
Ainsi, en envoyant ledit point de Foys sur $\infty$, on voit que les droites euclidiennes sont exactement les cercles du plan circulaire passant par $\infty$.
On peut ensuite s'attaquer au groupe circulaire, à savoir l'ensemble des applications du plan circulaire qui envoient tout cercle sur un cercle.
On montre que ce groupe est engendré par les inversions, qui donnent donc leur pleine mesure dans ce cadre projectif.
Je ne vois pas l'intérêt de débiter des généralités sur la géométrie circulaire.
La meilleure façon de se frotter à une géométrie est encore de mettre les mains dans le cambouis!
Aussi je propose l'exercice suivant trouvé dans le cours de Perrin cité dans ce fil que je vous conseille vivement de télécharger et de lire si vous vous voulez vraiment progresser en géométrie:
Amicalement
[small]p[/small]appus
en construisant les cercles tangents à l'axe commun des cercles donnés et passant par les points de contact d'une tangente commune aux deux cercles donnés .
Cordialement
C'est une affirmation purement gratuite.
Et en plus, cerise sur le gâteau, tu ne donnes aucune démonstration!
Comme Perrin le conseille, il faut raisonner par conjugaison en examinant les inversions échangeant les deux cercles donnés.
Mais j'ai l'intuition que personne ne suivra les conseils de Perrin, pas plus que les miens d'ailleurs!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Cet ensemble serait-il une droite ?
Toi le brillant algébriste, pourquoi ne conjugues-tu pas comme Perrin te le conseille!
L'idée est la suivante:
Tu prends deux cercles $C_1\ $ et $C_2.\qquad$
Et tu considères une inversion $\sigma: C_1\longleftrightarrow C_2$ échangeant les deux cercles.
Il en existe toujours au moins une d'après le cours du Lebossé-Hémery, confirmé soixante dix ans plus tard pars le cours de Daniel Perrin.
Maintenant tu transformes tout ce fourbi par une transformation circulaire quelconque $g$
Que récupères-tu?
Un premier cercle $C'_1=g(C_1)\ $ et un second cercle $C'_2=g(C_2).\qquad$
Ça, ce n'est pas trop difficile.
Mais surtout on récupère la transformation:
$$\sigma'=g.\sigma.g^{-1}:C'_1\longleftrightarrow C'_2\qquad$$
Il y aurait matière ici à écrire un magnifique diagramme commutatif mais hélas je partirai (bientôt) sans avoir tout appris
En tout cas on sait, d'après le cours de Perrin par exemple mais aussi par ta propre culture que $\sigma'$ est encore une inversion échangeant les cercles $C'_1\ $ et $C'_2\ $.
Et tu sais soit par le Lebossé-Hémery soit par Daniel Perrin que les inversions échangeant deux cercles, il n'y en a pas des masses!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Le bachelier d'autrefois ne connaissait pas la Divine Conjugaison mais il semblerait bien que cette dernière soit elle aussi disparue aujourd'hui de notre culture, vu l'enthousiasme que ma question a soulevé!
Il y aurait eu peut-être une autre façon pour notre bachelier (que j'ai été) de s'en tirer, c'est d'appliquer l'article ci-dessous du Lebossé-Hémery mais j'ai l'intuition que cet article va soulever autant d'enthousiasme que la Divine Conjugaison.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Là aussi comme beaucoup de participants avec lesquels je dialogue, tu procèdes par affirmation!
Bref n'a jamais été une démonstration.
As-tu au mois essayé d'utiliser GeoGebra pour étayer ce résultat?
Je t'ai proposé deux méthodes!
1° La méthode Perrin utilisant la conjugaison et avec laquelle je pensais que tu serais plus à l'aise!
2° La méthode beaucoup plus élémentaire du Lebossé-Hémery.
Je te conseille vivement de les tester l'une et l'autre!
Amicalement
[small]p[/small]appus
L'inversion de pôle $I$ et de rapport la puissance de $I$ par rapport à $C_1$ conserve globalement $C_1$ et $C_2$ ou envoie chacun de ces cercles sur une droite.
Donc $I$ est dans l'ensemble cherché par Perrin.
Tu veux te payer la tête à moitié neuronée du pauvre pappus?
Si les cercles $C_1$ et $C_2$ n'ont pas le même rayon, tu n'as pas fait beaucoup avancer le schmilblik
Mais peut-être as-tu mal compris l'énoncé?
On cherche les inversions $f$ telles que le rayon du cercle $f(C_1)\ $ soit égal au rayon du cercle $f(C_2).\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus
Soit donc $f$ une inversion telle que $f(C_1)$ et $f(C_2)$ aient même rayon ;-)
Soit $\sigma$ une inversion échangeant $C_1$ et $C_2$.
Alors $i=f\circ\sigma\circ f^{-1}$ est une inversion échangeant $f(C_1)$ et $f(C_2)$.
En particulier, on peut choisir $\sigma$ telle que $i$ soit une symétrie axiale, ce qu'on suppose désormais.
Or, si $\Gamma$ est l'ensemble des points fixes de $\sigma$, alors $f(\Gamma)$ est l'ensemble des points fixes de $i$.
Donc $\infty\in f(\Gamma)$ et le pôle de $f$ est sur $\Gamma$.
Je reconnais que tu as fait un réel effort.
Mais tu restes dans le vague!
Maintenant je te donne concrètement deux cercles $C_1\ $ et $C_2$, tu me traces ton fameux cercle $\Gamma$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Soit réciproquement $I$ un point de l'ensemble des points fixes d'une inversion positive $\sigma$ échangeant $C_1$ et $C_2$.
Soit $f$ une inversion quelconque de pôle $I$.
Alors $f\circ\sigma\circ f^{-1}$ est une symétrie axiale échangeant $f(C_1)$ et $f(C_2)$ qui ont donc même rayon.
Bien connu?
Alors que la géométrie circulaire a disparu pour toujours depuis des années dans notre république analphabète!
Et en plus il y a une discussion à faire portant sur la situation relative des cercles $C_1$ et $C_2$.
Tu plaisantes!!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Dans un fil voisin, j'essaye d'expliquer la projection stéréographique.
Cela pourraitt'intéresser!
Je suis évidemment bien placé pour comprendre ta figure.
Mais imagine ton lecteur $\lambda!\qquad$
Il voit bien que le centre de $\Gamma$ est le centre d'homothétie positive de $C_1\ $ et $C_2\ $ mais il ne voit pas très bien comment tu as obtenu son rayon.
Et pourquoi as-tu snobé le centre d'homothétie négative?
Et puis il y a les deux autres cas de figures où les cercles sont tangents ou sécants.
Bref, comme tu le dis, il y a encore plein de choses à faire!
Et quid de la seconde méthode élémentaire tirée du Lebossé-Hémery?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bien sûr qu'elle ne sert à rien mais ton lecteur $\lambda\ $ voudrait bien savoir pourquoi et ce d'autant plus que ce centre d'homothétie intervient dans d'autres cas de figure différents de celui que tu envisages!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Fais moi tout simplement la figure dans le cas de deux cercles sécants!
Amicalement
[small]p[/small]appus
J'ai choisi celle dont le pôle est le centre d'homothétie négative.
Tu vois que c'est assez délicat à rédiger si on veut ne rien oublier!
Il reste à voir ce que donne la méthode Lebossé-Hémery!
Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves!
Amicalement
[small]p[/small]appus
[Un peu de lecture] :-D