Trisection

Mon cher Dom
Ta méthode n'est pas poussive et au moins au moins as-tu proposé quelque chose à l'encontre de ceux, les plus nombreux qui passent leur temps à ne rien dire!
Dans mon énoncé, j'ai parlé d'aire algébrique.
Est-ce que cette notion te dit quelque chose?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Tu as les moyens de proposer quelque chose de plus efficace en te servant de la formule bien connue:
$$\mathrm{Aire}(\Delta)=\dfrac 12 \mathrm{Base}\times \mathrm{Hauteur}\qquad$$

Bonsoir à tous
Ce qui est fascinant dans cet exercice, c'est qu'on peut l'aborder élémentairement à la façon de Dom ou bien de manière plus élaborée à la façon de Gai Requin mais quel que soit le chemin adopté, il faut le suivre jusqu'au bout!
Amicalement

Merci Gai Requin
Comme tu n'expliques rien, c'est comme si tu n'avais rien fait.
Encore une fois la construction finale m'importe peu!
C'est le chemin suivi pour y arriver qui m'intéresse avant tout.
Tout peut se faire élémentairement par la géométrie contemplative en adoptant une définition raisonnable et maniable de l'aire algébrique.
L'aire algébrique d'un triangle $ABC$ est son aire géométrique habituelle multipliée par $+1$ si le triangle $ABC$ tourne dans le sens des aiguilles d'une montre et par $-1$ dans le cas contraire.
Ce n'est pas plus idiot que la définition des angles orientés que j'avais dû subir quand j'étais en classe de Mathématiques et qui m'avait occasionné maints torticolis!
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Ah, j'oubliais!
N'oubliez pas votre montre!!!!!

Bonjour à tous
J'ai le pressentiment que la méthode collégienne n'ira pas plus loin.
Discuter de l'intersection éventuelle de deux droites parallèles semble être un cauchemar épouvantable pour certains qui à défaut d'ânonner l'Axiome de Thalès se contenteront de marmonner le Postulat d'Euclide!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
C'est quand même incroyable que personne ne veuille faire un calcul aussi simple.
Sans doute est-il hors de portée de nos étudiants?
Sur la figure ci-dessous, on a la solution $a_1b_1\ $ trouvée par Léon Claude Joseph (l'a-t-il dénichée par hasard ?) et en rabiot celle qu'il a oubliée $a_2b_2.\qquad $
Si $a\not = a_1$ et $a\not =a_2$, il n'existe aucun $c\in AB\ $ tel que $S(a,b,c)=-2S(A,B,C)$ sinon tous les points $c\ $ de la droite $AB\ $ conviennent!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonsoir à tous
J'ai déjà dit que quelqu'un possédant un logiciel de géométrie dynamique et sachant s'en servir n'a aucun mal à découvrir les solutions.
Ce qui est triste dans cette histoire, c'est que pas plus le lycéen sachant calculer l'aire d'un triangle en fonction de sa base et de sa hauteur que l'agrégatif connaissant son cours d'algèbre linéaire sur le bout des doigts n'est capable de résoudre ce très simple problème, faute d'un enseignement adéquat au moment voulu.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour à tous
Je n'ai pas vraiment critiqué la solution de Gai Requin!
J' hésite toujours entre exposer une méthode élémentaire compréhensible par des lycéens ou une méthode plus élaborée basée sur l'algèbre linéaire.
Il est plus facile pour moi de rédiger la seconde de façon concise alors que la première est un véritable casse-tête pédagogique qui exige de nombreux détours.
Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Léon Claude Joseph
Les heures supplémentaires sont réservées à ceux qui tiennent à rester élémentaire.
L'algèbre linéaire mène à des constructions affines beaucoup plus simples, l'inconvénient étant évidemment non seulement de savoir son cours d'algèbre linéaire mais aussi de connaître ses applications à la géométrie, ce qui, on le conviendra, est difficile dans un pays où l'enseignement de la géométrie a totalement disparu.
La formule à connaître est la suivante:
$$S(f(A),f(B),f(C))=\det(\overrightarrow f)S(A,B,C)\qquad$$
où $f\ $ est un endomorphisme affine du plan.
Donc s'il existe un triangle inscrit $abc$ vérifiant:
$$S(a,b,c)=-2S(A,B,C)\qquad$$
cela signifie:
$$\det(\overrightarrow f)=-2\qquad$$
où $f$ est l'application affine $ABC\longmapsto abc.\qquad$
Comme $abc\ $ est un triangle inscrit, on sait que:
$$\mathrm{Trace}(\overrightarrow f)=-1\qquad$$
Il en résulte que le polynôme caractéristique de $\overrightarrow f\ $ est:
$$X^2+X-2\qquad$$
Le spectre de $\overrightarrow f\ $ est donc:
$$\{1,-2\}\qquad$$
D'autre part on sait que les endomorphismes affines du plan forment eux-mêmes un espace affine.
Soit donc:
$$g=\dfrac 23 id+\dfrac 13f\qquad$$
On sait que:
$$\overrightarrow g=\dfrac 23Id+\dfrac 13\overrightarrow f\qquad$$
Le spectre de $\overrightarrow g$ est donc:
$$\{0 ,1\}\qquad$$
Or $g$ envoie le triangle $ABC$ sur le triplet $\alpha\beta\gamma\ $ où les points $\alpha\ $, $\beta\ $, $\gamma\ $ trisectent respectivement les segments $Aa\ $, $Bb\ $, $Cc.\qquad$
Comme $g\ $ est de rang $1$, les points $\alpha\ $, $\beta\ $, $\gamma\ $ sont alignés sur une droite $L.\qquad$
On en déduit deux choses:
1° Le titre de ce fil!!
Trisecter des segments , c'est évidemment moins glorieux que trisecter les angles mais au moins on savait autrefois le faire avec la règle et le compas. Aujourd'hui, je ne sais pas mais j'en doute beaucoup!!!
2° La construction elle même!!!!!
On trisecte les segments $Aa\ $ et $Bb.\qquad$
On récupère la droite $L=\alpha\beta.\qquad$
On trisecte le segment $CB\ $ en $u.\qquad$
On trisecte le segment $CA\ $ en $v.\qquad$
On récupère:
$$\gamma=L\cap (uv).\qquad$$
Puis:
$$c=AB\cap C\gamma.\qquad$$

Bonsoir à tous
Pour les algébristes distingués, il reste à décrire la décomposition canonique de la transformation affine $f:ABC\mapsto abc\ $ en un produit commutatif d'une translation et d'une affinité.
Amicalement
[small]p[/small]appus