Un cercle et deux tréquis

jelobreuil · June 2021

Bonjour à tous
Soit, sur un cercle de centre O, deux points diamétralement opposés A et B, un point M et le point N tel que MN = MA. On construit deux triangles équilatéraux ("tréquis") AMP et BNS, intérieurement au cercle, sur les cordes AM et BN.
Montrer que le sommet P se situe sur l'un des côtés SN et SB.
Peut-on généraliser cela au cas de deux triangles semblables, directement ou indirectement ? Si oui, moyennant quelle modification des hypothèses ? 123218

Ludwig · June 2021

Bonjour,

Il suffit de montrer que $\widehat{PNB}=60°$.
On considère le cercle de centre $M$ passant par $A$, $P$ et $N$. D'après le théorème de l'angle inscrit $\widehat{ANP}$ vaut la moitié de $\widehat{AMP}$, c'est-à-dire $30°$. Or $\widehat{ANB}$ est droit. D'où le résultat.

jelobreuil · June 2021

Bien joué, Ludwig !
Etait-ce trop facile ?
Amicalement
JLB

Un cercle et deux tréquis

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Bonjour!

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