Projecteurs orthogonaux

jp nl · June 2021

Bonjour.
J'ai du mal avec une implication.

$E$ est euclidien, et pour $F$ un sous-espace, on note $p_F$ la projection orthogonale sur $F$.
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de $E$.
Montrer que $p_F$ et $p_G$ commutent ssi $\ \exists H,\ p_F\circ p_G=p_H$.

J'ai le sens direct (avec en résultat supplémentaire $H=F\cap G$),
et je sèche sur la réciproque.
Merci pour toute indication !

jp nl · June 2021

Auto-réponse...
Je crois que je l'ai, en utilisant le résultat :
un projecteur orthogonal est un endomorphisme symétrique.

Pour tous $x, y$ de $E$ :
$$<p_F\circ p_G(x) \mid y> \, =\, <p_H(x)\mid y> \, =\, <x\mid p_H(y)>\, =\, <x\mid p_F\circ p_G(y)>,
$$ car $p_H$ est un projecteur orthogonal, donc est symétrique.
Or :
$$<p_F\circ p_G(x) \mid y> \, =\, <p_G(x)\mid p_F(x)>\, =\, <x\mid p_G\circ p_F(y)>,
$$ car $p_F$ et $p_G$ aussi !
Cqfd.

pappus · June 2021

Mon cher jp nl
Pas besoin d'utiliser le produit scalaire, il suffit de passer par l'adjoint:
$$p_F\circ p_G=p_H=p_H ^*=(p_F\circ p_G)^*=p_G^*\circ p_H^*=p_G\circ p_F\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus

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