Évaluation d'un rapport

Bonjour à tous
La formule que j'ai donnée doit se trouver quelque part dans le livre de Daniel Perrin et c'est pourquoi j'en conseille la lecture sans trop d'illusions car j'ai le pressentiment qu'il s'est donné beaucoup de mal en pure perte.
Comme Rescassol a donné son résultat, je vais bien voir si j'obtiens la même expression en suivant la méthode Perrin!!!
$$\dfrac{S(A,Q,R)}{S(A,B,C)}=
\dfrac{
\begin{vmatrix}
1&1&1\\
0&0&-r\\
0&-q&0
\end{vmatrix}
}
{(1-q)(1-r)}
=-\dfrac{qr}{(1-q)(1-r)}
\qquad
$$
$$\dfrac{S(P,Q,R)}{S(A,B,C)}=
\dfrac{
\begin{vmatrix}
0&1&1\\
1&0&-r\\
-p&-q&0
\end{vmatrix}
}
{(1-p)(1-q)(1-r)}
=\dfrac{-q+pr}{(1-p)(1-q)(1-r)}
\qquad
$$
Et finalement
$$\dfrac{\overline{XA}}{\overline{XP}}=-\dfrac{qr(1-p)}{pr-q}\qquad$$
Ce qui confirme le résultat de Rescassol!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour,

J'ai bien sûr fait du Morley circonscrit:

% Jean-Louis Ayme - 04 Juin 2021 - Évaluation d'un rapport 

clc, clear all, close all

syms a b c
syms aB bB cB % Conjugués

aB=1/a;
bB=1/b;
cB=1/c;

%-----------------------------------------------------------------------

syms p q r % 3 points P(p), Q(q), R(r)

syms u v w real % 3 nombres réels

EqP=(b-p)-u*(c-p); % PB/PC = u donc (u - 1)*p + b - c*u = 0
p=(c*u-b)/(u-1);
pB=(cB*u-bB)/(u-1);

EqQ=(a-q)-v*(c-q); % QA/QC = v donc (v - 1)*q + a - c*v = 0
q=(c*v-a)/(v-1);
qB=(cB*v-aB)/(v-1);

EqR=(a-r)-w*(b-r);  % RA/RB = w donc (w - 1)*r + a - b*w = 0
r=(b*w-a)/(w-1);
rB=(bB*w-aB)/(w-1);

%-----------------------------------------------------------------------

[pa qa ra]=DroiteDeuxPoints(a,p,aB,pB); % Droite (AP)
[p1 q1 r1]=DroiteDeuxPoints(q,r,qB,rB); % Droite (QR)

% Point d'intersection X de ces deux droites

[x xB]=IntersectionDeuxDroites(pa,qa,ra,p1,q1,r1); 

XA2=Factor((a-x)*(aB-xB)); % XA^2
XP2=Factor((p-x)*(pB-xB)); % XP^2

Rapport2=Factor(XA2/XP2); % Rapport XA^2/XP^2

% On trouve:

Rapport2=v^2*w^2*(u - 1)^2/(v - u*w)^2;

% Donc:

Rapport=v*w*(1-u)/(v-u*w) % au signe près

% Ou, en renommant, Rapport=qr(1-p)/(q-pr)

Cordialement,

Rescassol

Bonjour, Jean Louis il y a cette façon sans beaucoup de details avec des Thalès. Dans la figure $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$. Un petit changement de variables $AR=r.c$, $AQ=q.b$ et $BP=p.a$. Si $ED=x$, $EF=y$, alors $y/x=f(r,q,p)$ (Thalès et triangles semblables) puis aussi on peut trouver $DA=\alpha (x+y)$ et $FP=\beta (x+y)$ par Thalès, $\alpha $ et $\beta$ en fonction de $p,q,r$. Enfin puisque $y=f(p,q,r)x$ le rapport $\dfrac{x+AD}{y+FP}$ dépend seulement de $p,q,r$ (avec mes notations).
Le cadre normal est celui du repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ et [du] calcul vectoriel pour $X\equiv E$ très proche d'une réponse donné dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,2183716,2183878#msg-2183878
Cordialement.

Bonjour,

Lorsqu'on fixe deux des trois paramètres $p$, $q$, $r$ la dépendance entre $x= \frac{XA}{XP} $ et le troisième est de type homographique.
Peut-on en déduire la forme générale de l'expression de $x$ en fonction de $p$, $q$, $r$ ?
Et la déterminer complètement en examinant un certain nombre de cas particuliers.

Bonjour à tous
Il faut se rappeler que Jean-Louis ne serait pas dépaysé s'il se retrouvait à enseigner la géométrie aux étudiants du Portique.
Il ne connait pas les grandeurs orientées et en particulier les réels négatifs.
Il faut s'arranger pour que tous les calculs n'emploient vertueusement que des réels positifs, même si nos étudiants d'aujourd'hui comme ceux du Portique ne savent pas trop ce qu'est un réel.
L'importance de la figure est donc primordial et une bonne période de méditation contemplative est capitale.
Ci-dessous la figure de Jean-Louis avec ses notations !!
$p=\dfrac{PB}{PC}\ $ est un réel positif.
On disait que le point $P\ $ divisait le segment $BC$ dans le rapport $p$.
J'ai dû apprendre cela en classe de Troisième.
Aujourd'hui il est probable qu'on ne divise plus le moindre segment depuis belle lurette
On apprenait à faire la construction de ce point $P\ $ dans le cas où $p=\dfrac mn\ $ était le quotient de deux entiers. On était pas fou !!!
On résolvait même quelques équations du premier degré pour trouver :
$$PB=\dfrac p{1+p}.BC,\qquad
PC=\dfrac 1{1+p}.BC\qquad
$$ Et pourquoi s'arrêter en si bon chemin
Avec $q=\dfrac{QA}{QC}\ $, on a :
$$QA=\dfrac q{1+q}.CA,\qquad
QC = \dfrac 1{1+q}.CA\qquad
$$ Et enfin avec $r=\dfrac{RA}{RB} $, on a :
$$RA=\dfrac r{1+r}.AB,\qquad
RB = \dfrac 1{1+r}.AB\qquad
$$ On s'attaque maintenant aux aires, pas aux aires algébriques, mais aux braves aires ordinaires et il me semble difficile de s'en passer dans cet exercice de Jean-Louis :
$$S(AQR)=\dfrac 12 AQ.AR.\sin(\widehat A),\qquad
S(ABC)=\dfrac 12 AB.AC.\sin(\widehat A)\qquad
$$ Donc
$$S(AQR)=S(ABC).\dfrac{AQ}{AC}.\dfrac{AR}{AB}=\dfrac{qr}{(1+q)(1+r)}.S(ABC).
$$ Avec le même tour de passe-passe utilisant cette fois $\sin(\widehat \ $ et $\sin(\widehat C)\ $, on trouve :
$$S(BPR)=\dfrac{BR}{BA}.\dfrac{BP}{BC}.S(ABC)=\dfrac p{(1+p)(1+r)}.S(ABC),\qquad \\
S(CPQ) =\dfrac{CP}{CB}\dfrac{CQ}{CA}.S(ABC)=\dfrac 1{(1+p)(1+q)}.S(ABC)\qquad
$$ On en déduit par additivité des aires et quelques soustractions cauchemardesques:
$$S(PQR)=\dfrac{q+rp}{(1+p)(1+q)(1+r)}.S(ABC)\qquad
$$ Alléluia, Miracle des miracles, on trouve un résultat positif.
On aurait été bien embêté si on avait trouvé un résultat négatif puisque les réels négatifs sont inconnus au bataillon !!!
C'est presque terminé !
Il faut quand même démontrer ce maudit lemme des chevrons si on a pas confiance en Perrin !!!
$$S(AQR)=\dfrac 12 Aa.QR,\qquad
S(PQR)=\dfrac 12 Pp.QR\qquad
$$ Donc
$$\dfrac{S(AQR)}{S(PQR}=\dfrac{Aa}{Pp}=\dfrac{XA}{XP}\qquad
$$ La dernière égalité étant due à l'Axiome de Thalès !
Et on trouve finalement avec les notations de Jean-Louis :
$$\dfrac{XA}{XP}=\dfrac{qr(1+p)}{q+rp}\qquad
$$ Amicalement
[small]p[/small]appus

Merci Pappus !
Pour ce calcul que, pour une fois, j'ai pu suivre de bout en bout !
Bien amicalement
JLB

Bonjour,

Ou, avec Morley circonscrit $x=\dfrac{a(q-pr) - bqr + cpqr}{q - r(p+q) + pqr}$.
Ce qui signifie, en barycentriques, que $X=(q-pr:-qr:pqr)$.

Cordialement,

Rescassol