Un triangle, trois ellipses d'aires égales
dans Géométrie
Bonne nuit à tous
Soit un triangle ABC, les milieux des côtés A', B' et C', les milieux A1, A2 des segments A'B et A'C, et B1, B2, C1 et C2 définis de manière analogue.
Les 12 points d'intersection des segments AA1, AA2 et analogues se répartissent en deux groupes de six points.
Comme on peut s'y attendre, les 6 points en position proche des côtés du triangle (en rouge et non étiquetés sur ma figure) se trouvent sur une ellipse homothétique par rapport à celle sur laquelle se trouvent les six points A1, A2 et analogues.
Les six autres points A'1, A'2, B'1, B'2, C'1 et C'2 sont en des positions telles que les trois ellipses bleues de ma figure ont des aires de même valeur.
Je trouve assez étonnant ce dernier résultat ... comment peut-on l'expliquer ?
Bien cordialement.
JLB
Soit un triangle ABC, les milieux des côtés A', B' et C', les milieux A1, A2 des segments A'B et A'C, et B1, B2, C1 et C2 définis de manière analogue.
Les 12 points d'intersection des segments AA1, AA2 et analogues se répartissent en deux groupes de six points.
Comme on peut s'y attendre, les 6 points en position proche des côtés du triangle (en rouge et non étiquetés sur ma figure) se trouvent sur une ellipse homothétique par rapport à celle sur laquelle se trouvent les six points A1, A2 et analogues.
Les six autres points A'1, A'2, B'1, B'2, C'1 et C'2 sont en des positions telles que les trois ellipses bleues de ma figure ont des aires de même valeur.
Je trouve assez étonnant ce dernier résultat ... comment peut-on l'expliquer ?
Bien cordialement.
JLB
Réponses
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Bonjour à tous,
Ce phénomène est évidemment lié à l'isotomie ... Voici deux autres figures qui l'indiquent.
Merci de vos explications éventuelles !
Bien cordialement
JLB -
Bonjour
En partant d'un triangle équilatéral, les 3 ellipses sont isométriques et chacune peut être inscrite dans un rectangle avec un côté parallèle à un côté du triangle. L'aire de l'ellipse est les $3 \, \pi / 4$ de l'aire du rectangle.
La transformation en un triangle quelconque qui conserve $BC$ se décompose en une affinité qui modifie les aires dans un facteur $k$ et une déformation oblique qui les conserve. Les rectangles deviennent des parallélogrammes mais les ellipses ont toujours leur centre au centre du parallélogramme et sont tangentes aux milieu des 4 côtés,et l'aire des ellipses reste dans le même rapport à l'aire des parallélogrammes.
Cette explication me paraît suffisante. Quel est votre avis?
Cordialement
PL -
Merci PL de cette explication, assez claire pour que j'en comprenne, sinon la "mécanique fine", du moins l'esprit !
Bien cordialement
JLB
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Bonjour!
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